Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Août 2017, 4e défi

le 27 août 2017 à 20:57, par drai.david

Un tout petit programme pourrait faire l’affaire, mais faisons plutôt des maths...
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ donc $\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}=\frac{(a-b)^2+3ab}{(a-b)^2}=1+\frac{3ab}{(a-b)^2}$.
D’où $\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{70}{3} \iff \frac{(a-b)^2}{3ab}=\frac{3}{70} \iff \frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{9}{70} \iff \frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}=\frac{9}{70}$
$\iff \frac{a}{b}-\frac{149}{70}-\frac{b}{a}=0$.
En posant $x=\frac{a}{b}$, on obtient $x^2-\frac{149}{70}x=1=0$, équation qui a deux solutions : $\frac{7}{10}$ et $\frac{10}{7}$.
Comme $15>a>b>0$, alors $a=10$ et $b=7$, d’où $a-b=3$.
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