Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Août 2017, 4e défi

le 27 août 2017 à 21:23, par Bernard Hanquez

Bravo, j’ai bien essayé de faire des vraies maths, mais mon côté informaticien m’a poussé vers VB (pour excel), alors voila le petit programme qui donne la solution (ligne 63).

Sub Macro1()
I = 1
For A = 15 To 2 Step -1
For B = A - 1 To 1 Step -1
Cells(I, 1) = A
Cells(I, 2) = B
Cells(I, 3) = (A ^ 3 - B ^ 3) / (A - B) ^ 3
I = I + 1
Next B
Next A
End Sub
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