Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Août 2017, 4e défi

le 28 août 2017 à 19:05, par ruello

autre proposition :
a-b <15
On a 3( a^3-b^3) = 73 ( a-b)^3, pgcd(3,73)=1 donc 3 divise (a-b)^3, et comme 3 est premier 3 divise donc a-b.
a -b = 3 ou 9 ou 12.
mais ( a-b)^3 = 3( a^3-b^3)/73 < ou égal 3*14^3/73<113, seul a -b = 3 peut convenir.
si a - b = 3 alors a = b+3, on obtient ainsi l’équation b² +3b -70 = 0, cette équation admet 7 comme solution et donc a = 10.
On vérifie aisément que ces solutions conviennent.
donc a-b = 3 avec a = 10 et b =7
Rmq :
si a-b = 12, on obtient b² +12b -1120 = 0, cette équation a une solution entière positive, b =28 donc a = 40 mais ces nombres sont supérieurs à 15.
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