Un défi par semaine

Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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  • Août 2017, 4e défi

    le 28 août 2017 à 23:05, par Goubert

    3x(a³-b³)=73(a-b)³
    3x(a-b)³-9(ab²-a²b)=73(a-b)³
    70(a-b)³= 9ab(a-b)
    (a-b)²=9ab/70
    En décomposant 70 = 7 x 5 x 2
    9 n’est pas divisible par 7, 5 ou 2 donc ab doit l’être : (a,b) = (14,5) ou (10,7)
    d’où (a-b)² =9
    donc a-b= 3

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