Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Août 2017, 4e défi

le 29 août 2017 à 17:31, par ruello

En utilisant la démarche décrite ci-dessous, on retrouve certains résultats que vous énoncez.
q nombre premier
a -b = k q
b est alors solution de l’équation 3 b² + 3qkb + k²q(q-p) =0(1)
le discriminant est 3k²q(4p-q)
Si q = 3, cette équation a des solutions entières ssi 4p-3 est un carré .
Posons 4p-3 = n² , p = ( n² + 3)/4. p est un entier ssi n est impair.( on considère n différent de 1)
n = 2l + 1, p est alors de la forme l² + l + 1, ces entiers sont des multiples de trois ou sont congrus à 1 modulo 3, nombreux sont premiers.
la solutions positive de (1) est k(n-3)/2 , d’où b= k(n-3)/2 et a= k(n + 3)/2.
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