Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Août 2017, 4e défi

le 29 août 2017 à 19:15, par drai.david

« Nombreux sont premiers » : oui et non...
On compte 37 607 912 018 nombres premiers inférieurs à 10¹², dont environ la moitié la forme $6k+1$.
( En effet, j’ai fait une petite étude sur les nombres premiers inférieurs à 1 million, et il y en a 39 233 de la forme $6k+1$ et 39 265 de la forme $6k-1$, soit 49,98 % contre 50,02 %...)
Rapporté au nombres d’entiers de la forme $6k+1$ inférieurs à à 10¹², cela donne 11,3 %.

Or les entiers $p$ de la forme $l^2+l+1$ ($l$ n’étant pas congru à 1 modulo 3 sinon $p$ est multiple de 3...) sont tous de la forme $6k+1$, et il y en a 666 666 inférieurs à 10¹².
Et comme je trouve que 88 117 d’entre eux sont premiers, cela nous donne une proportion de 13,2 %.

Ce n’est donc pas beaucoup plus que 11,3 %...

Mais mon plus gros problème, c’est que je n’arrive pas du tout à démontrer pourquoi $q=3$.
Si vous avez une idée...
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