Un défi par semaine

Août 2018, 1er défi

Le 3 août 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 31

Sur une feuille rectangulaire d’une aire de $300\,\mathrm{cm}^2$ on peut dessiner le patron suivant d’un cube. Quel est le volume du cube ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $(p,q,r)=(3, 2, 7)$, $(5, 3, 5)$ ou $(7, 3, 2)$.

Si $p=q$, l’équation originale se réduit à $\frac{4}{r+1}=0$, et on n’obtient pas de solution. Donc, $p\neq q$, et on obtient de l’équation originale

\[\begin{eqnarray*} \frac{4}{r+1} & = & \frac{p}{q}-1=\frac{p-q}{q}\\ r+1 & = & \frac{4q}{p-q}. \end{eqnarray*}\]

D’où on voit que $p-q$ divise $4q$, donc $p-q$ peut être égal à $1, 2, 4, q, 2q$ ou $4q$. Observons que $p-q$ ne peut être égal à $q, 2q$ ou $4q$ vu que dans ce cas $p$ serait égal à $2q, 3q$ ou $5q$ ce qui est impossible, $p$ étant premier. Analysons les trois autres cas

  • (i) Si $p-q=1$, alors $p$ et $q$ sont des nombres premiers consécutifs, c’est-à-dire, $q=2$, $p=3$, $r=7$.
  • (ii) Si $p-q=2$, alors $p=q+2$, $r=2q-1$. Comme $q$ est un
    nombre premier, ou bien $q=3$, ou bien $q \equiv \pm 1\, (\mbox{mod}\, 3)$. Si $q=3$, alors $p=5$ et $r=5$.

Si $q \equiv 1 \,(\mbox{mod}\, 3)$, alors $p=q+2 \equiv 0\,(\mbox{mod}\, 3)$. Comme $p$ est un nombre premier, l’unique
possibilité est $p=3$, et par conséquent $q=1$, qui n’est pas un
nombre premier.

Maintenant, si $q \equiv -1 \,(\mbox{mod}\, 3)$ alors $r \equiv -2-1 \equiv 0 \,(\mbox{mod}\, 3)$. Comme $r$ est un nombre premier, l’unique possibilité est $r=3$, et alors $q=2$ et $p=4$, qui n’est pas un nombre premier.

  • (iii) Si $p-q=4$ alors $r=q-1$, et $r$ et $q$ sont des nombres
    premiers consécutifs. Donc, $r=2$, $q=3$ et $p=7$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Août 2018, 1er défi

    le 3 août à 07:45, par Al_louarn

    \[(\dfrac{300}{3 \times 4})^\frac{3}{2} = 125\]

    Répondre à ce message
  • Août 2018, 1er défi

    le 3 août à 08:31, par Pierre Cami

    x=arête du cube
    3*x*4*x=300 cm2
    x*x=25 cm2
    x=5 cm
    volume du cube x*x*x= 5*5*5 = 125 cm3

    Répondre à ce message
  • Août 2018, 1er défi

    le 3 août à 12:03, par Mario

    Soit $a$ la longueur d’une arête du cube.
    On considère le parallélépipède rectangle ayant pour base la feuille rectangulaire et pour hauteur $a$.
    Il est formé par $12$ cubes et a pour volume $300a$.
    Ainsi, $12a^3=300a$
    d’où l’on déduit : $a=5$.
    Par conséquent, le volume du cube mesure $125 \, cm^3$.

    Répondre à ce message

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