Un défi par semaine

Août 2018, 4e défi

Le 24 août 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 34

À Piedsrares, les hommes ont le pied gauche deux pointures plus grandes que le droit et les femmes une pointure plus grande. Cependant, on vend des paires de chaussures de la même pointure. Un groupe d’amis a acheté une collection de chaussures et il leur en est resté seulement deux : une de taille $21$ et une autre de taille $30$. Quel est le plus petit nombre de personnes dans le groupe ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : ce n’est pas possible.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$
sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$,
donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire.
Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit
être paire.

Pourtant
$1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un
nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi,
l’ensemble
\[\{1, 2, 3, \dots , 32, 33\}\]
ne peut pas être divisé
en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Août 2018, 4e défi

    le 24 août à 07:58, par Blaxapate

    Quatre hommes et une femme ayant tous des chaussures dépareillées.

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  • Août 2018, 4e défi

    le 24 août à 09:16, par mong

    la 30 est une pointure gauche => il faut une paire à 28
    => une paire à 26
    => une paire à 24
    => une paire à 22

    la 21 nécessite une paire à 20 et une paire à 21 (la chaussure à 21 ne peut être qu’une chaussure gauche pour qu’on puisse recoller avec les hommes)
    => il faut une autre femme pour arriver à 22
    on a donc :
    1 h 30/28,
    1 h 28/26
    1 h 26/24
    1 h 24/22
    1 f 22/21
    1 f 21/20

    soit 4 h et 2 f

    Répondre à ce message
    • Août 2018, 4e défi

      le 25 août à 10:12, par ROUX

      Il doit rester une 21, pas une 20 : votre dernière femme est inutile, avec néanmoins tout mon respect pour icelles 😉

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  • Août 2018, 4e défi

    le 24 août à 09:53, par Poss Jean-Louis

    Les pointures sont comprises entre 21 et 30. En effet si la chaussure de taille 30 est utilisée par un homme dont l’autre pied est plus grand, cet autre pied sera de taille 32. Il reste alors une chaussure de taille 32 qui sera utilisée avec une chaussure de taille 34 et il restera une chaussure de taille 34. La suite des tailles des chaussures restantes est strictement croissante, ce qui est impossible. Le raisonnement est le même si l’on chausse des femmes et aussi pour les tailles inférieures à 20.
    Pour obtenir le nombre de personnes minimum, le groupe doit contenir le plus d’hommes possible. L’homme qui a le pied gauche de pointure 30 aura le pied droit de pointure 28 ; l’homme qui a le pied gauche de pointure 28 aura le pied droit de pointure 26, l’homme qui a le pied gauche de pointure 26 aura le pied droit de pointure 24, l’homme qui a le pied gauche de pointure 24 aura le pied droit de pointure 22. Il reste une chaussure gauche de taille 22 qui sera utilisée par une femme dont le pied droit a pour pointure 21.
    La taille minimum du groupe est donc de cinq personnes (quatre hommes et une femme).
    Remarques :
    1) Parmi les deux chaussures qui restent celle de taille 21 est une chaussure gauche et celle de taille 30 est une chaussure droite.
    2) Le groupe peut comporter :
    — cinq personnes, quatre hommes et une femme ;
    — six personnes, trois hommes et trois femmes ;
    — sept personnes, deux hommes et cinq femmes ;
    — huit personnes, un homme et sept femmes ;
    — neuf femmes.
    Pour que le groupe comporte plus de personnes il faudrait ajouter deux paires de chaussures (au moins) dont les tailles diffèrent de une ou deux pointures. Mais il faudrait affecter ces chaussures à deux personnes, ce qui est impossible si le pied gauche est le plus grand.

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    • Août 2018, 4e défi

      le 24 août à 22:49, par Daniate

      Bonsoir

      La dernière remarque est vraie si l’on impose que nul(le) n’a les pointures d’un(e) autre sinon il suffit d’ajouter deux personnes ayant les même pointures même non comprises entre 21 et 30. il n’y a donc pas de maximum.

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      • Août 2018, 4e défi

        le 25 août à 09:47, par Poss Jean-Louis

        Oui, mais, dans cet étrange pays, tous les habitants ont le pied gauche plus grand que le droit.

        Répondre à ce message
        • Août 2018, 4e défi

          le 25 août à 10:17, par ROUX

          Certes mais elles ont les mêmes pointures pour les tribords entre eux et les babords entre eux 😉😊
          Par exemple deux (34,35) ou deux (28,30) 😉

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          • Août 2018, 4e défi

            le 25 août à 10:48, par Poss Jean-Louis

            Soient deux individus, femmes en l’occurence, chaussant (34,35). Il faudra disposer de deux paires de chaussures, une de taille 34, l’autre de taille 35. Or les pieds gauches des deux femmes auront une pointure de 35 et les pieds droits une pointure de 34. La plus rapide des deux femmes aura une chaussure de taille 35 au pied gauche et une chaussure de taille 34 au pied droit : elle sera à l’aise. Mais il restera à la seconde femme une chaussure droite de taille 35 – elle nagera un peu, mais pourra mettre de grosses chaussettes – et une chaussure gauche de taille 34 – si elle arrive à rentrer son pied dans la chaussure en forçant, elle attrapera des ampoules à coup sûr.

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            • Août 2018, 4e défi

              le 25 août à 13:03, par ROUX

              Oups...
              Ce ne sont pas des espadrilles mais des chaussures.
              Zut !
              Bien vus (les pieds).
              Et du coup je m’écris que j’ai peut-être mal compris les propos de Daniate 😢

              Répondre à ce message
              • Août 2018, 4e défi

                le 25 août à 13:10, par Daniate

                Malheureusement Daniate vieillit et augmente considérablement ses bourdes . Toutes mes excuses à Jean Louis.

                Répondre à ce message
                • Août 2018, 4e défi

                  le 25 août à 14:24, par Poss Jean-Louis

                  Il n’y a pas de mal. Les commentaires critiques m’incitent à m’interroger sur la validité de mes affirmations et la clarté de leur exposition.

                  Une difficulté souvent rencontrée est la lecture complète et attentive de l’énoncé des problèmes.

                  Répondre à ce message
        • Août 2018, 4e défi

          le 25 août à 10:20, par ROUX

          C’est Daniate quand même qui vous fait cette suggestion.
          Daniate quoi 😉

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  • Août 2018, 4e défi

    le 24 août à 17:48, par ROUX

    21 21
    ......23 23
    ............25 25
    ..................27 27
    ........................29 29
    ..............................30 30
    Les paires de pied sont en colonne=4 hommes et 1 femme.

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    • Août 2018, 4e défi

      le 25 août à 14:35, par Poss Jean-Louis

      Statistiquement les femmes ont de plus petits pieds que les hommes…

      Ceci dit, statistiquement les personnes ont des pieds de même pointure. Alors tout est possible…

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  • Août 2018, 4e défi

    le 25 août à 17:50, par Celem Mene

    J’ai eu de la peine à me représenter ce problème, jusqu’à ce que je l’imagine comme une échelle à franchir en moins d’étapes possibles. On peut franchir deux échelons à la fois (ce qu’on aura intérêt à faire) ou un seul (seulement éventuellement à la dernière étape). On part de l’échelon 21, et on va jusqu’à l’échelon 30.

    Pied droit sur le 21, gauche sur le 23.
    Pied droit sur le 23, gauche sur le 25,
    Pied droit sur le 25, gauche sur le 27,
    Pied droit sur le 27, gauche sur le 29,
    Pied droit sur le 29, gauche sur le 30 (dernière étape, à un échelon).

    Et il reste un gauche 21 et un droit 30.

    Cinq étapes et donc cinq personnes au minimum dans le groupe.

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