Un défi par semaine

Août 2019, 3e défi

Le 16 août 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 33

La somme de deux nombres entiers positifs vaut $125$. Si on multiplie le premier par $4$ et qu’on divise le second par $4$, on obtient la même somme. Quels sont les deux nombres initiaux ?

Solution du 2e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : oui.

En construisant deux tétraèdres l’un sur l’autre comme sur la figure suivante,

et en considérant les $6$ faces latérales et la face horizontale « séparant » les deux tétraèdres, on obtient bien $7$ triangles
équilatéraux avec 9 allumettes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - KUCHARSKI K. KUCHARSKA / SHUTTERSTOCK

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  • Août 2019, 3e défi

    le 16 août 2019 à 10:32, par FredM

    Bonjour,
    En généralisant, $x+y = S$ et $q.x + \frac{y}{q} = S$ donne $(q^{2}+1).x = (q-1).S$. On écarte le cas $q=1$ et on conclut :
    $x = \frac{S}{(q+1)}$ et $y = q.x$
    Les 2 termes de la somme commutent, la décomposition de S reste la même.
    En fait, cela revient à chercher les solutions de
    $x + y = S$
    $x.y = P$
    Il ne peut y avoir que 2 racines au maximum, donc une seule décomposition de S pour un couple $(x, y)$ donné. Donc forcément, $q.x = y$

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