Un défi par semaine

Août 2019, 4e défi

Le 23 août 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 34

Combien peut-on trouver de nombres à deux chiffres vérifiant
que la somme de leurs chiffres soit divisible par $6$ ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est $25$ et $100$.

Notons $z$ et $w$ les deux nombres. On a donc $z+w=125=4z+\frac{w}{4}$.

Par conséquent,
\[ \begin{eqnarray*} 4z+4w & = & 16z+w\\ 3w & = & 12z\\ w & = & 4z, \end{eqnarray*}\]
et donc $5z=125$. On en déduit $z=25$ et $w=100$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - KUCHARSKI K. KUCHARSKA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Août 2019, 4e défi

    le 23 août à 08:09, par jml83

    Il y a 14 nombres ayant cette propriété.
    La valeur maximale de la somme vaut 18 (9 + 9).
    Les multiples de 6 correspondants sont donc 6, 12 et 18.
    Pour obtenir 6, il y a 6 possibilités : 0/6 (1 possibilité 60 car 06 n’est pas un nombre à deux chiffres), 1/5 (2), 2/4 (2) et 3/3 (1 seule possibilité 33).
    Pour obtenir 12, il y a 7 possibilités 3/9 (2), 4/8 (2), 5/7 (2) et 6/6 (1).
    Pour obtenir 18, il n’y a qu’une seule possibilité : 9/9.
    Ce qui donne au total 6 + 7 +1 = 14.

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    • Août 2019, 4e défi

      le 23 août à 12:10, par FredM

      Bonjour,
      Ecrivons $x = 10.a + b$ avec $9 \geq a \geq 1$ et $9 \geq b \geq 0$
      La condition s’écrit $a+b=6p$ avec $p = {1,2,3}$, soit $x= 10.a +6.p - a$
      L’encadrement de $b$ impose : $9 \geq 6.p-a \geq 0$
      soit $6.p \geq a \geq 6.p-9$ et $9\geq a\geq 1$
      Pour $p=1$ : $6 \geq a \geq 1$ soit 6 possibilités
      Pour $p=2$ : $9 \geq a \geq 3$ soit 7 possibilités
      Pour $p=3$ : $9 \geq a \geq 9$ soit 1 possibilité
      On retrouve bien les 14 solutions.

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  • Août 2019, 4e défi

    le 23 août à 19:17, par FDesnoyer

    Bonjour,
    le prof de maths de lycée que je suis ne peut s’empêcher d’y voir une excellente opportunité de faire un programme en Python (pour retrouver le fameux 14) (après avoir remarqué que ces nombres sont multiples de 3)

    R=[]
    L=[i for i in range(10,100) if i%3==0]
    for i in L :
    s=i%10+i//10
    if s%6==0 :
    R.append(i)
    print(f« Il y a len(R) nombres dont la somme des chiffres est multiple de 6 : R »)

    Pour les plus joueurs, ce programme peut être condensé sur une seule ligne mais c’est vite illisible.

    Bien cordialement,

    F.D.

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