Un défi par semaine

Août 2019, 5e défi

Le 30 août 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 35

Trouver le plus petit entier $n$ tel que si on lui rajoute un $2$ à gauche
et un $1$ à droite, on obtienne $33\times n$.

Solution du 4e défi d’août :

Enoncé

La réponse est $14$.

Un nombre à deux chiffres s’écrit $10a+b$ avec
$0$ < $a\leq 9$
et $0\leq b\leq 9$

et l’on souhaite que $a+b$ soit divisible par $6$.

La somme $a+b$ sera divisible par $6$ si elle est égale à $6$, $12$
ou $18$.

Étudions ces différents cas :

  • Si $a+b=6$, les nombres possibles sont : 15, 24, 33, 42, 51 et 60.
  • Si $a+b=12$, alors $a$ et $b$ sont entre $3$ et $9$ et les nombres possibles sont : 39, 48, 57, 66, 75, 84 et 93.
  • Si $a+b=18$, la seule possibilité est $a=b=9$ et l’unique nombre est $99$.

On compte finalement $6+7+1=14$ nombres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2019, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - KUCHARSKI K. KUCHARSKA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Août 2019, 5e défi

    le 30 août à 07:53, par Al_louarn

    Si $n$ s’écrit avec $k$ chiffres en base $10$ alors $2 \times 10^{k+1} + 10n + 1 = 33n$, d’où $2 \times 10^{k+1} + 1 = 23n$.
    $n$ est donc le plus petit entier de la forme $\dfrac{2 \times 10^{k+1} + 1}{23}$, avec $k \geq 1$.
    Pour $k = 1$ on trouve $\dfrac{201}{23}$ qui n’est pas entier.
    Pour $k = 2$ on trouve $n=\dfrac{2001}{23} = 87$
    Et l’on a bien $2871=33 \times 87$

    Répondre à ce message
    • Août 2019, 5e défi

      le 30 août à 08:08, par Al_louarn

      Plus exactement, $n$ est le plus petit entier à $k$ chiffres en base $10$ de la forme $\dfrac{2 \times 10^{k+1} + 1}{23}$. Le nombre $87$ obtenu pour $k=2$ convient car il a bien $2$ chiffres.

      Répondre à ce message
      • Août 2019, 5e défi

        le 30 août à 10:58, par ROUX

        C’est le seul en fait non ?

        Répondre à ce message
        • Août 2019, 5e défi

          le 30 août à 18:25, par Al_louarn

          Non, voyez la solution générale donnée par François, mais les autres sont gigantesques. Le plus petit après $87$ est $869565217391304347826087$ ($24$ chiffres !).

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      • Août 2019, 5e défi

        le 30 août à 11:53, par ROUX

        Et d’ailleurs à votre avis comment Ana a-t’elle « découvert » ce défi ?

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      • Août 2019, 5e défi

        le 30 août à 15:00, par François

        Quelques remarques :
        1°) $\frac {2.10 ^ {k+1}+1} {23} $ a exactement k chiffres en base 10.
        cela tient aux inégalités $2.10+1<23<100$ et $10^{k+1} < 2.10^{k+1} +1$.
        Donc $10^{k-1} < \frac {2.10^{k+1}+1} {23} < \frac {2.10^{k+1}+1} {2.10+1} < 10^{k} $
        2°) Structure des entiers du type $\frac {2.10 ^ {k+1}+1} {23} $.
        Pour k=2, $\frac {2.1000+1} {23} = 87 $. Soit $N$ un entier du type $\frac {2.10 ^ {k+1}+1} {23} $, $N-87= \frac {2000(10^{k-2}-1)} {23}$ est un entier. Comme 23 est premier, ne divisant pas 2000 on doit avoir $10^{k-2} \equiv 1 mod 23 $.Le groupe $(\mathbb{Z}/23\mathbb{Z},*)$ étant cyclique, $k = 2+22p$. Donc $N= 87 +2000\frac {10^{22p}-1} {23}$. En notant $K= 20 \frac {10^{22}-1} {23} = 8695652173913043478260$ (22 chiffres), on obtient $ N = 87+10^{2}K +10^{2+22}K +\cdots +10^{2+22(p-1)}K$.
        En base 10 ce nombre s’écrit $KK\cdots K87$ (K p fois).!!

        Répondre à ce message

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