Un défi par semaine

Août 2020, 1er défi

Le 7 août 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 32 Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels positifs tels que $a(b+c)=152$, $b(c+a)=162$ et $c(a+b)=170$. Combien vaut le produit $abc$ ?

Solution du 5e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $60$ pas.

Notons $x$ le nombre de pas qu’Abdoul doit faire pour rattraper son fils. Durant ce temps, son fils fera $\frac 7 6 x$ pas. Si on ajoute son avance, le fils sera $30+\frac 7 6 x$ pas devant la position originale d’Abdoul. Comme les pas du fils correspondent à $\frac 3 5$ des pas du père, on a
\[ \begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \left( 30 + \frac{7}{6} x \right) & = & x\\ 18 +\frac{21}{30}x & = & x\\ 18 & = & x\left(\frac{30-21}{30}\right)\\ x & = & 60. \end{eqnarray*}\]

Donc Abdoul doit faire 60 pas pour rattraper son fils.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Commentaire sur l'article

  • Août 2020, 1er défi

    le 7 août à 09:36, par François

    Les 3 relations sont équivalentes à $b + c = \displaystyle\frac {152} {a}$ , $c - b =\displaystyle \frac {8} {a}$ et $(b - a)c = 10$. Des 2 premières on en déduit que $b = \displaystyle\frac {72} {a}$ et $c =\displaystyle \frac {80} {a}$ , en reportant dans la dernière on en conclut, compte tenu que $a$ est positif, que $a = 8$ puis $b = 9 $ et enfin $c = 10$.
    Le produit $abc$ vaut donc 720.

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    • Août 2020, 1er défi

      le 7 août à 10:36, par orion8

      Ou encore, en développant et en posant $x=ab$, $y=ac$ et $z=bc$, on trouve $x=72$, $y=80$ et $z=90$.
      On a alors : $a^2b^2c^2=xyz=8\times9\times8\times10\times9\times10=8^2\times9^2\times10^2$ et donc $abc=8\times9\times10=720$ car les trois nombres sont positifs.

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      • Août 2020, 1er défi

        le 8 août à 14:54, par ROUX

        Très élégant.
        C’est ce que je voulais : déterminer abc sans calculer a, b et c.
        👍👍👍

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    • Août 2020, 1er défi

      le 8 août à 15:01, par ROUX

      152=8×19
      162=2×3×3×3×3
      170=10×17.
      19 ou 17 sont automatiquement les sommes.
      19=10+9 donc c=10 et alors b=9.
      Avec 17=9+8 on a alors a=8.

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      • Août 2020, 1er défi

        le 8 août à 15:26, par François

        A priori $a$, $b$, $c$ ne sont pas des entiers mais des réels positifs. Je ne comprends pas bien le raisonnement.

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        • Août 2020, 1er défi

          le 11 août à 10:57, par Sidonie

          C’est, qu’en bon logicien, Roux a lu « le produit abc » d’où l’unicité. Il suffit alors d’exhiber a, b et c satisfaisant aux conditions pour avoir droit au calcul.

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  • Août 2020, 1er défi

    le 7 août à 13:24, par olivier

    Bonjour à tous

    J’ai remplacé 152 par u, 162 par v et 170 par w

    On a 3 équations :
    a(b + c) = u (1)
    b(c + a) = v (2)
    c(a + b) = w (3)

    • (1)+(2)+(3) donne
      2bc = -u + v + w (4)

    De même on obtient :
    2ab = u + v - w (5)
    2ac = u - v + w (6)

    Ces trois équations sont équivalentes à celles de départ.

    En multipliant les 3 expressions membre à membre, on obtient
    8a²b²c² = (u + v - w)(u - v + w)(-u + v + w)
    ce qui permet d’obtenir abc = 720 car a, b et c sont positifs.

    Remarque :
    si on fait (5) x (6), on obtient
    4a²bc = (u + v - w)(u - v + w)

    On utilise alors (4) qui permet de remplacer 2bc dans le membre de gauche
    et on obtient
    2(-u + v + w)a² = (u + v - w)(u - v + w)
    Qui fournit une valeur pour a

    De même, on a :
    2(u - v + w)b² = (-u + v + w)(u + v - w)
    2(u + v - w)c² = (-u + v + w)(u - v + w)

    Ces trois expressions donnent des conditions d’existence pour a, b et c en fonction de u, v et w

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