Un défi par semaine

Août 2020, 2e défi

Le 14 août 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 33 Jean et Léa ont les $4$ dés représentés. Jean choisit un dé, puis Léa en choisit un autre. Ils les lancent et celui qui obtient le plus grand chiffre gagne. Avec quelle probabilité Léa peut-elle gagner ?

Solution du 1er défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $abc=720$.

Par somme des trois équations, on obtient $2ab+2bc+2ca=152+162+170=484$.

Alors,
\[ \begin{eqnarray*} ab &=& 242-c(a+b)=242-170=72,\\ bc &=& 242-a(b+c)=242-152=90,\\ ca &=& 242-b(a+c)=242-162=80. \end{eqnarray*}\]
Ainsi, $(abc)^2 = (ab)(bc)(ca)=(72)(90)(80)=(9\times 8)(9\times 10)(8\times 10)=8^2\times 9^2\times 10^2$,

donc $abc=8\times 9\times 10=720$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - PHOTOPSIST / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Août 2020, 2e défi

    le 14 août à 09:54, par Blaxapate

    Si Jean et Léa choisissent leur dé au hasard, alors c’est du 50/50. Mais Léa choisit son dé après Jean, et elle a une stratégie augmentant sa probabilité de victoire :
    Si Jean choisit le dé dont toutes les faces sont 3, Léa choisit le dé avec 4*[4] et 2*[0].
    Si Jean choisit le 4*[4]+2*[0], Léa choisit le 3*[5]+3*[1].
    Si Jean choisit le 3*[5]+3*[1], Léa choisit le 2*[6]+4*[2].
    Enfin si Jean choisit le 2*[6]+4*[2], Léa choisit le 6*[3].

    Dans tous les cas, Léa gagne 2 fois sur 3.

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    • Août 2020, 2e défi

      le 14 août à 10:39, par Niak

      En effet, pour compléter, voici la probabilité de gain (NB : le « match nul » n’est pas possible car deux dés distincts n’ont jamais de valeur en commun) du second dé dans tous les cas (dés numérotés dans l’ordre classique de la lecture, premier dé selon la ligne, second dé selon la colonne) :
      \[\begin{bmatrix} {-}&\frac{1}{3}&\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}&{-}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\ \frac{4}{9}&\frac{2}{3}&{-}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}&{-} \end{bmatrix}\]
      On remarque, si je ne me suis pas trompé, que le 1er dé perd contre le 3ème, qui perd contre le 2ème, qui perd lui-même contre le 1er. Autrement dit $D1 < D3 < D2 < D1$ formant un ensemble de dés intransitif.

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      • Août 2020, 2e défi

        le 14 août à 10:48, par Niak

        En consultant wikipédia à ce sujet, je découvre que ce jeu de dés est en fait connu (dés d’Efron) et forme même un ensemble de 4 dés non transitifs : $D1< D4 < D3 < D2 < D1$.

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        • Août 2020, 2e défi

          le 14 août à 12:34, par Niak

          (Et, bien sûr, on était censés s’en rendre compte immédiatement après avoir résolu le problème puisque c’est aussi l’« ordre » induit par la stratégie gagnante — les probas le long du cycle sont toutes de $\frac{2}{3}$. Le défi pointait donc déjà la non transitivité du jeu, mais je n’avais même pas fait attention...)

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