Un défi par semaine

Août 2020, 3e défi

Le 21 août 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 34

Un tour de jeu permet de retourner de $180^\circ$ exactement cinq des six
triangles. Est-il possible de se retrouver avec tous les triangles dans l’autre sens (la « pointe » vers le bas) ?

Solution du 2e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{2}{3}$.

Numérotons les dés comme sur la figure ci-dessous. Peu importe le dé que choisit Jean, Léa pourra toujours choisir au mieux un dé avec lequel il aura $\frac{2}{3}$ de chance de gagner.

Par exemple, si Jean choisit le dé numéro $1$ (avec quatre $4$ et deux $0$), alors Léa choisit le dé numéro $4$ (avec trois $5$ et trois $1$). Il y a au total $36$ possibilités différentes de lancers. Dans six de ces possibilités, on obtient la paire $(0,1)$, dans six autres de ces possibilités, on obtient la paire $(0,5)$, dans $12$ des possibilités on obtient la paire $(4,1)$ et enfin dans $12$ de ces possibilités, on obtient la paire $(4,5)$. Ainsi Léa gagne dans $24$ cas sur $36$. La probabilité qu’il gagne est donc de $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$.

Si Léa avait choisi le dé numéro $2$, sa probabilité de gagner aurait été $\frac{2\times 6}{36}=\frac{1}{3}$, et s’il avait choisi le dé numéro $3$, elle aurait été de $\frac{2\times 4+4\times 2}{36}=\frac{4}{9}$.
Ainsi si Jean choisit le dé numéro $1$, le mieux que peut faire Léa est de choisir le dé numéro $4$, et il gagne alors avec une probabilité de $\frac{2}{3}$.
En étudiant les autres cas, on se rend compte que la plus grande
probabilité de gagner pour Léa est toujours de $\frac{2}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - PHOTOPSIST / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Août 2020, 3e défi

    le 21 août 2020 à 12:40, par Niak

    Votre argument donne l’impression que cela marche aussi pour $5$ triangles (un coup consistant à en retourner $4$), or ce n’est pas le cas.

    Répondre à ce message

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