Un défi par semaine

Août 2020, 3e défi

El 21 agosto 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (12)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 34

Un tour de jeu permet de retourner de $180^\circ$ exactement cinq des six
triangles. Est-il possible de se retrouver avec tous les triangles dans l’autre sens (la «pointe» vers le bas) ?

Solution du 2e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{2}{3}$.

Numérotons les dés comme sur la figure ci-dessous. Peu importe le dé que choisit Jean, Léa pourra toujours choisir au mieux un dé avec lequel il aura $\frac{2}{3}$ de chance de gagner.

Par exemple, si Jean choisit le dé numéro $1$ (avec quatre $4$ et deux $0$), alors Léa choisit le dé numéro $4$ (avec trois $5$ et trois $1$). Il y a au total $36$ possibilités différentes de lancers. Dans six de ces possibilités, on obtient la paire $(0,1)$, dans six autres de ces possibilités, on obtient la paire $(0,5)$, dans $12$ des possibilités on obtient la paire $(4,1)$ et enfin dans $12$ de ces possibilités, on obtient la paire $(4,5)$. Ainsi Léa gagne dans $24$ cas sur $36$. La probabilité qu’il gagne est donc de $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$.

Si Léa avait choisi le dé numéro $2$, sa probabilité de gagner aurait été $\frac{2\times 6}{36}=\frac{1}{3}$, et s’il avait choisi le dé numéro $3$, elle aurait été de $\frac{2\times 4+4\times 2}{36}=\frac{4}{9}$.
Ainsi si Jean choisit le dé numéro $1$, le mieux que peut faire Léa est de choisir le dé numéro $4$, et il gagne alors avec une probabilité de $\frac{2}{3}$.
En étudiant les autres cas, on se rend compte que la plus grande
probabilité de gagner pour Léa est toujours de $\frac{2}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Août 2020, 3e défi

    le 21 de agosto de 2020 à 13:21, par FredM

    Exact, «tourner autour de la table» est une rotation que j’applique inconsidérément, alors qu’il faut une symétrie axiale pour préserver l’ordre des triangles après changement d’un seul.
    L’opération «retourner k-1 pièces sur k pièces» est décomposée en «retourner une pièce + appliquer une symétrie axiale - horizontale»
    De ce fait, le nombre de symétries appliquées est égal au nombre de pièces individuellement retournées et doit être pair pour ne pas annuler les retournements individuels. Merci pour votre remarque!

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.