Un défi par semaine

Août 2020, 4e défi

Le 28 août 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 35

Une suite de nombres $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $\dots$ est définie de la manière suivante : les deux premiers termes sont égaux à $1$ puis pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a_{n+1}= n(a_{n-1} +a_{n})$.

Quel est le chiffre des unités de $a_{2020}$ ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : oui.

Il est possible de le faire en six coups, comme ceci :

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

  • Août 2020, 4e défi

    le 28 août à 09:28, par jokemath

    • Août 2020, 4e défi

      le 28 août à 09:35, par orion8

      et pas seulement pour $a_{2020}$...

      Répondre à ce message
    • Août 2020, 4e défi

      le 28 août à 10:04, par Niak

      En effet, il n’est pas difficile de montrer que $a_n=n!$ (par récurrence, via le calcul $n((n-1)!+n!) = n(1+n)(n-1)!=(n+1)!$).

      Et $2020!$ se termine par $\sum_{i\geq1}\left\lfloor\frac{2020}{5^i}\right\rfloor=503$ zéros.

      Répondre à ce message
  • Août 2020, 4e défi

    le 28 août à 11:31, par ROUX

    Je me propose d’aller jusqu’à n=6 pour voir si il n’est pas évident que ce sera un 0 (dans le genre on va avoir un 2*5...)
    a0=1
    a1=1
    a2=2
    a3=6
    a4=24
    Wow ! Stop !
    Il semblerait que an=n ! pour n>2.
    Faisons une récurrence.
    Bon, l’amorçage, on a.
    On suppose que c’est vrai jusqu’à n-1.
    Donc an=(n-1)*(an-1 + an-2) ou an=(n-1)*((n-1) !+(n-2) !) ou an=(n-1)*(n-2) !*((n-1)+1) ou an=an=(n-1)*(n-2)*(n) ou an=n*(n-1)*(n-2) ! ou an=n !CQFD.
    2020<5 donc on a au moins 5 !=120 donc le chiffre des unités de a2020 est 0.

    Répondre à ce message
    • Août 2020, 4e défi

      le 28 août à 11:54, par Niak

      Ce qui est amusant, c’est que si vous étiez vraiment allé jusqu’à $6$, vous auriez trouvé $a_5=120$ et $a_6=720$, les deux premiers termes consécutifs à être divisibles par $10$. Mais comme $a_{n-1}+a_n$ divise $a_{n+1}$, alors $10$ divise aussi $a_7$, et, en répétant l’argument, tous les termes suivants.

      Répondre à ce message

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