Un défi par semaine

Août 2022, 1er défi

Le 5 août 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 31

On considère un cube de $1$ cm de côté. Parmi les $56$ triangles formés de trois sommets du cube, combien sont équilatéraux ?

Solution du 5e défi de juillet 2022 :

Enoncé

Réponse : un couple

Remarquons que :
\[ \begin{eqnarray*} (x^{20}-y^{20})^2&=& x^{40} - 2x^{20}y^{20} +y^{40}\\ &=&(xy)^{20}-2x^{20}y^{20}.\\ &=&-(xy)^{20} \end{eqnarray*} \]

Comme le membre de gauche est un carré, donc positif, et que le membre de droite est l’opposé d’un carré, donc négatif, on en déduit que les deux membres de l’équation sont nuls.

L’annulation du deuxième membre donne $(xy)^{20}=0$, ce qui donne $xy=0$, donc $x=0$ ou $y=0$.

L’annulation du premier membre donne alors l’annulation de l’autre variable. Il y a donc un seul couple de solutions : $(0,0)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Août 2022, 1er défi

    le 5 août à 09:09, par Al_louarn

    Colorions alternativement en rouge et bleu les sommets du cube, de sorte que pour chaque arete du cube les sommets sont de couleurs différentes. Alors si nous prenons $2$ sommets quelconques :

    • soit ils sont de même couleur et leur distance est toujours $\sqrt{2}$ (sommets opposés sur une même face).
    • soit ils sont de de couleurs différentes et la distance est soit $1$ (sommets d’une arete), soit $\sqrt{3}$ (sommets opposé du cube).

    Donc si nous formons un triangle avec $3$ sommets quelconques, alors :

    • soit ils sont de même couleur et le triangle est équilatéral de côté $\sqrt{2}$.
    • soit il y a $2$ sommets de même couleur et le troisième d’une autre couleur, donc un et un seul côté de longueur $\sqrt{2}$, le triangle n’est pas équilatéral.

    Comme nous avons $4$ sommets rouges et $4$ sommets bleus, nous pouvons former $4$ triangles monochromes rouges et $4$ triangles monochromes bleus, donc au total $8$ triangles équilatéraux.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?