Apollonius et le traité des Coniques

Piste bleue 26 avril 2015  - Ecrit par  Micheline Decorps-Foulquier Voir les commentaires (1)

Avec Archimède et Euclide, ses prédécesseurs, Apollonius de Perge est l’une des trois figures les plus éminentes de l’âge d’or de la mathématique hellénistique. On lui doit la théorie de trois courbes bien connues, que chacun peut observer en de nombreuses circonstances et que les élèves découvrent en cours de mathématiques comme représentations graphiques de certaines fonctions, la parabole, l’hyperbole et l’ellipse. Comme les géomètres grecs ont obtenu ces courbes en coupant un cône par un plan, on les appelle des sections coniques.

Apollonius de Perge

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L’ellipse et la direction des ordonnées

Avec Archimède et Euclide, ses prédécesseurs, Apollonius de Perge est l’une des trois figures les plus éminentes de l’âge d’or de la mathématique grecque hellénistique. On lui doit la théorie de trois courbes bien connues, que chacun peut observer en de nombreuses circonstances et que les élèves découvrent en cours de mathématiques comme représentations graphiques de certaines fonctions, la parabole, l’hyperbole et l’ellipse. Comme les géomètres grecs ont obtenu ces courbes en coupant un cône par un plan, on les appelle des sections coniques.

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L’hyperbole à deux branches et la direction des ordonnées

Apollonius était originaire de la ville de Perge, une importante cité maritime de la côte méridionale d’Asie Mineure, dans la région antique de la Pamphylie. On situe la naissance d’Apollonius autour de 240 avant J.-C. Apollonius enseigna à Alexandrie et acquit de son temps une très grande réputation comme astronome ; les témoignages antiques affirment qu’on le surnomma « epsilon » en raison de la ressemblance formelle de la lettre avec la lune, qu’il avait étudiée avec une grande précision [1].

Apollonius n’est pas un génie isolé. Il vit dans un milieu culturel privilégié, qui est le milieu alexandrin. Comme les autres savants de son temps, il est en relation avec les intellectuels et chercheurs des grandes capitales qui ont dominé le monde antique à l’issue des conquêtes d’Alexandre le Grand, en tout premier lieu Pergame, mais aussi Ephèse et bien d’autres. Ses travaux font également l’actualité des milieux philosophiques contemporains et tout particulièrement des milieux épicuriens.

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La parabole et la direction des ordonnées

Dans la lettre qu’il adresse, en effet, à son correspondant de Pergame pour accompagner la mise en circulation du Livre II de son traité des Coniques [2], on le voit parrainer le philosophe et géomètre épicurien Philonide [3]. Hypsiclès d’Alexandrie (IIe s. av. J.-C.), qui a écrit le Livre XIV des Éléments d’Euclide, raconte dans sa préface que son père avait reçu, à Alexandrie, la visite du philosophe épicurien, Basilidès de Tyr [4], aussi versé que lui dans la science mathématique, et que l’essentiel de leurs conversations fut consacré à un écrit mathématique d’Apollonius sur la comparaison de polyèdres [5]. Ils tombèrent d’accord qu’Apollonius s’était trompé. Hypsiclès ajoute que lui-même eut plus tard l’occasion de lire la démonstration exacte dans une seconde édition de l’ouvrage procurée par Apollonius. On voit que les recherches d’Apollonius alimentent tout particulièrement la réflexion des épicuriens de la nouvelle génération.

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L’ellipse comme section d’un cône à base circulaire coupé par un plan orthogonal au plan axial

Apollonius a écrit de nombreux ouvrages [6], mais seuls nous ont été conservés en langue grecque les quatre premiers livres de son traité des Coniques. Ce n’est pas l’édition originale qui nous est parvenue. L’Antiquité nous a transmis l’édition commentée du traité des Coniques que l’on doit à un mathématicien du VIe siècle après J.-C, Eutocius d’Ascalon, très connu pour ses commentaires d’Archimède. On a également conservé, grâce à l’immense écho que les travaux d’Apollonius ont eu chez les mathématiciens arabes [7], une traduction arabe du IXe siècle des Livres I-VII du traité des Coniques et une traduction arabe du traité La section de rapport.

Le traité des Coniques

L’ouvrage fondamental d’Apollonius est le traité des Coniques, originellement écrit en huit livres contenant chacun une soixantaine de propositions mathématiques (théorèmes et problèmes). Le Livre VIII, consacré exclusivement à des problèmes en relation directe avec les théorèmes du Livre VII, s’est perdu très tôt, sans doute à la fin de l’Antiquité. Le traité expose, selon les formes démonstratives adoptées par les mathématiciens grecs, une théorie géométrique des sections coniques, qui jouera un rôle considérable en histoire des sciences.

Apollonius n’a pas mis en circulation son ouvrage en une seule fois. Sa rédaction s’est étalée dans le temps, comme il l’explique lui-même à Eudème, son correspondant de Pergame, dans sa lettre d’envoi du Livre I, qui sert de préface à l’ensemble de l’ouvrage. Il y a d’abord eu des premières versions non révisées des Livres I et II qui ont circulé. Ensuite, quand il s’est attelé à l’édition « officielle », il a mis en circulation les différents livres au fur et à mesure de leur révision. Cette opération a duré un certain temps, car son premier correspondant, Eudème, qui semble déjà malade quand il lui envoie le Livre II, meurt avant la révision du Livre IV. C’est à un deuxième correspondant de Pergame, Attale, qu’il adresse les Livres IV-VII, et sans doute aussi le Livre VIII.

La tradition antérieure au traité des Coniques

La survie du traité d’Apollonius est d’autant plus précieuse que la tradition ne nous a pas conservé les ouvrages antérieurs sur ce chapitre très important de l’histoire des mathématiques. Nous disposons seulement de quelques témoignages, mais qui montrent le haut niveau déjà atteint par les prédécesseurs d’Apollonius.

Ce sont les mathématiciens de l’Académie de Platon, au IVe siècle avant J.-C., qui semblent avoir apporté la plus riche contribution à l’étude des trois courbes [8]. Le témoignage le plus connu est celui du grand savant et bibliothécaire du Musée d’Alexandrie, Ératosthène de Cyrène (entre 276 et 195 avant J.-C.), qui, dans une épigramme dédiée au roi Ptolémée, fait allusion à l’utilisation des sections coniques en les rapportant au mathématicien Ménechme [9]. Celui-ci était un disciple du platonicien Eudoxe de Cnide, dont les travaux en géométrie ont constitué la base du Livre XII des Éléments d’Euclide.

Ce témoignage a révélé que l’un des premiers contextes de ces recherches, tout au moins en ce qui concerne la parabole et l’hyperbole, avait été la recherche de solutions au fameux problème de la duplication du cube [10]. Selon les traditions légendaires de l’Antiquité, les habitants de Délos, à qui l’oracle d’Apollon avait ordonné de doubler un autel cubique du dieu, avaient envoyé des délégués auprès des membres de l’Académie de Platon pour leur demander la solution du problème. Les mathématiciens grecs, depuis lors, ont ramené ce problème au problème plus général de la construction de deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite donnés [11]. Ces recherches relevaient d’une catégorie de problèmes qui ne pouvaient pas être résolus par « la règle et le compas », c’est-à-dire par la construction de figures planes, droites et cercles ; les mathématiciens grecs les ont classés comme « problèmes solides », en faisant appel pour leur résolution à des intersections de sections coniques (sections d’un solide).

De même les problèmes de lieu, qui permettaient de définir par des lignes « planes » ou des lignes « solides », comme les coniques, le lieu d’objets géométriques possédant telle propriété donnée [12], avaient ouvert un large champ d’application à l’étude des trois courbes, comme en témoigne tout ce qui peut être reconstitué des recherches sur les coniques au temps d’Euclide [13].

Quant aux applications techniques des sections coniques, en particulier en catoptrique [14], elles ont connu un grand développement dans la génération des hommes de science contemporains d’Archimède et d’Apollonius. Il faut ajouter aux témoignages bien connus des recherches d’Archimède en ce domaine, celui du traité des Miroirs ardents de Dioclès [15]. Ce dernier confirme dans la préface de son ouvrage les recherches en catoptrique de l’astronome Conon de Samos, dont on sait par Apollonius qu’il avait travaillé sur les intersections des sections coniques [16]. Toujours selon Dioclès, Dosithée, à qui Archimède avait dédié entre autres son traité de la Quadrature de la parabole, avait résolu le problème dans lequel on demande de construire un miroir permettant de faire réfléchir les rayons du soleil en un seul point, ce qui veut dire qu’il avait conçu, en théorie du moins, la courbure d’un miroir parabolique et mis en évidence la propriété optique d’un point remarquable sur l’axe de la parabole qu’on appelle aujourd’hui le foyer.

Le nouveau traitement des courbes dans l’ouvrage des Coniques

La perspective d’étude choisie par Apollonius dans son exposé des propriétés de la parabole, de l’hyperbole et de l’ellipse, est assez caractéristique pour être opposée à un traitement pré-apollonien de ces courbes représenté, dans la tradition qui nous a été transmise, par les ouvrages d’Archimède.

Comme ses prédécesseurs, Apollonius obtient la parabole, l’hyperbole et l’ellipse en coupant un cône à base circulaire par un plan. Mais le cône n’est plus la figure de révolution définie par Euclide dans ses Éléments (XI, Définition 18), c’est-à-dire la figure obtenue par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit [17] (le cône ainsi défini est droit, car son axe est perpendiculaire au plan de sa base). Il est une figure à deux nappes [18] engendrée par une droite illimitée (génératrice) qui se déplace en s’appuyant sur une circonférence (base circulaire du cône) et en passant par un point fixe (sommet du cône) non situé dans le plan de la circonférence. Les sections coniques ne sont donc plus obtenues en coupant trois espèces de cône circulaire droit par un plan perpendiculaire à l’une des génératrices, selon l’usage qui a déterminé les noms pré-apolloniens des courbes [19]. Elles sont obtenues en coupant un même cône quelconque à base circulaire par un plan dont on varie les inclinaisons.

Les noms des courbes changent également. Les trois noms, parabole (« application »), hyperbole (« excès ») et ellipse (« défaut »), se réfèrent à la technique de « l’application des aires » utilisée pour l’expression des propriétés caractéristiques des courbes [20] (mathématiquement équivalentes à nos équations cartésiennes). Pour chacune des trois sections, il y a application d’une aire (en l’occurrence, le carré d’un segment de droite, l’ordonnée, mené d’un point de la courbe au diamètre, dans une direction donnée) sur un segment de droite donné, perpendiculaire au diamètre, le côté droit ; soit la construction sur le côté droit d’un parallélogramme ayant une aire égale au carré de l’ordonnée. L’« application » est simple (sans défaut ni excès) pour la parabole, avec excès pour l’hyperbole, comme le montre la figure, avec défaut pour l’ellipse.

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L’hyperbole et l’application des aires

Apollonius formule ces trois propriétés de la manière suivante : pour tout point d’une parabole (K), le carré décrit sur l’ordonnée (KL$^2$) est égal à un rectangle qui, construit sur le côté droit (ZT) a pour largeur le segment ZL ; dans le cas de l’hyperbole, le rectangle de côté ZL et d’aire égale à KL$^2$, appliqué sur le côté droit, le dépasse d’une aire semblable à un rectangle fixe qui a pour côtés le diamètre (MZ) et son côté droit associé (ZT) ; dans le cas de l’ellipse, il est déficient de la même aire.

L’étude d’une section conique comme lieu des points d’un plan dont les distances à un point fixe (le foyer) et à une droite fixe de ce plan (la directrice) sont dans un rapport constant, n’apparaît pas dans l’ouvrage d’Apollonius.

Le projet d’Apollonius

Apollonius livre dans son traité des Coniques un exposé méthodique des propriétés géométriques des sections coniques. Il sélectionne et rassemble dans son ouvrage, en leur donnant le maximum de généralité, les acquis antérieurs qu’il considère comme nécessaires à la poursuite de ses propres recherches.

Les Livres I et II sont dévolus à la génération des courbes comme sections planes d’un cône, à la démonstration de leurs propriétés caractéristiques, à l’étude des diamètres, des tangentes et des sécantes, ainsi qu’à l’examen des propriétés relatives aux asymptotes à une hyperbole. On retrouve là, mais largement amplifié, un ensemble d’acquis déjà constitués à l’époque d’Euclide.

Le Livre III, qui a suscité, comme le Livre V, l’admiration de nombreux mathématiciens, établit de nombreux résultats fort utiles dans la géométrie des coniques. Quant au Livre IV consacré aux intersections des sections coniques, Apollonius dit lui-même avoir conçu les démonstrations rigoureuses qui ont manqué à Conon de Samos, le correspondant d’Archimède, lorsqu’il a abordé cette question.

Cet ensemble de démonstrations dont Apollonius dit lui-même qu’il constitue les « éléments » [21] de la géométrie des coniques est construit de manière à déterminer le socle conceptuel qui va lui permettre d’explorer les questions spécifiques présentées dans les Livres V à VII et dont il souligne lui-même toute la richesse.

Le Livre V construit la théorie des maxima et des minima, c’est-à-dire les droites les plus longues et les plus courtes qui peuvent être menées d’un point au périmètre d’une section conique ; le Livre VI expose la théorie de l’égalité et la similitude des sections coniques, et le Livre VII explore les relations métriques entre les éléments des courbes, diamètres, diamètres conjugués, axes, côtés droits, tangentes, sans doute autant d’outils forgés pour résoudre les problèmes auxquels était exclusivement consacré le Livre VIII disparu.

Le traité des Coniques est un monument de la mathématique grecque, et les historiens des sciences modernes ont parfois dû utiliser des instruments d’interprétation empruntés à une autre mathématique, celle de la géométrie algébrique en particulier, pour parvenir à en saisir toutes les potentialités et comprendre comment il a pu nourrir non seulement les développements théoriques que l’on connaît dans la tradition arabe et occidentale, mais aussi leur application aux domaines scientifiques les plus divers.

Les sources textuelles du traité des Coniques

Les sources textuelles du traité des Coniques montrent à quel point l’ouvrage a souffert des aléas de la transmission des textes, à l’image de l’œuvre entière d’Apollonius, dont il ne reste que des témoignages fragmentaires. Le mathématicien, déjà très connu à son époque, était pourtant en relation directe avec des milieux qui, grâce à la bibliothèque du Musée d’Alexandrie et celle de Pergame, diffusaient les textes dans le monde entier.

Proposition I.12 du traité des Coniques (définition de l’hyperbole) dans le manuscrit du Vatican, Vaticanus gr.206 (XIIIe s).

Le Livre VIII a disparu. Les Livres V-VII, qui exposaient les recherches les plus originales de l’auteur, ne sont connus que par une traduction arabe. Le texte grec des Livres I-IV qui nous est parvenu n’est pas le texte original, mais celui d’une édition tardive, que son auteur, Eutocius d’Ascalon, a réalisée à partir de plusieurs sources manuscrites ; non seulement il a dû faire des choix quand ses manuscrits divergeaient, mais il a voulu également rendre le texte clair et accessible aux lecteurs contemporains. La diffusion de son travail, sous la forme d’une édition commentée des Livres d’« éléments », a très certainement contribué à la raréfaction progressive des exemplaires du traité entier à la fin de l’Antiquité. Ajoutons que la tradition manuscrite grecque qui a transmis l’édition d’Eutocius ne permet pas d’en atteindre un état très ancien, puisque tous nos témoins remontent à un seul manuscrit, relativement tardif, le Vaticanus gr. 206, manuscrit byzantin de la fin du XIIe ou du début du XIIIe siècle. On a perdu les exemplaires byzantins du IXe siècle, qui avaient translittéré en écriture minuscule les exemplaires majuscules de l’Antiquité tardive.

La pauvreté de nos sources est la conséquence directe de la disparition, amorcée bien avant la fin de l’Antiquité, des milieux scientifiques susceptibles de lire et d’exploiter des ouvrages d’un aussi haut niveau mathématique.

Ce sont des savants arabes qui vont sauver une partie du patrimoine abandonné par les Grecs. Au IXe siècle, en effet, à Bagdad, par la volonté de trois frères férus de mathématiques, les Banû Mûsâ, les Livres I-VII des Coniques font l’objet d’une véritable entreprise éditoriale. La préface de leur traduction des Coniques nous renseigne sur les éminentes collaborations scientifiques qu’ils ont sollicitées, dont celle du grand mathématicien Thâbit Ibn Qurra, et les sources grecques qu’ils ont cherchées et trouvées. La traduction du traité d’Apollonius a été faite sous leur égide à partir d’au moins deux sources, un manuscrit grec des Livres I-VII, indépendant donc de l’édition d’Eutocius, et un manuscrit de l’édition d’Eutocius, découvert en Syrie, bien antérieur au Vaticanus gr. 206.

Propositions I.14 et I.15 du traité des Coniques dans le manuscrit d’Oxford, Bodleian Library Marsh 667 (a.1070).

Éditions et traductions du traité des Coniques

Le texte grec du traité des Coniques (les Livres I-IV de l’édition d’Eutocius) est resté à l’état manuscrit à la Renaissance. La première édition (editio princeps) a été très tardive, puisqu’elle est due à l’astronome Edmund Halley et date de 1710. L’édition du texte grec était accompagnée d’une traduction latine. Les savants occidentaux travaillaient auparavant sur l’excellente traduction latine des Livres I-IV du mathématicien italien Commandino (1566). Les manuscrits grecs utilisés aussi bien par Commandino que par Halley étaient des copies tardives de la Renaissance, relativement défectueuses, qu’ils ont tenté de corriger. Il a fallu attendre l’édition en deux volumes du grand philologue danois Johan Ludvig Heiberg dans la collection Teubner, en 1891-1893, pour disposer d’une première édition critique, c’est-à-dire une édition scientifique, dont le texte a été établi après le recensement, le classement et l’analyse des sources manuscrites existantes.

En 2001, le Livre IV a été l’objet d’une traduction commentée due à Michael N. Fried et Sabetai Unguru [22].

Quant aux Livres V-VII, c’est encore la traduction latine de Halley qui a donné pour la première fois accès au texte original [23] de la traduction arabe des Banû Mûsâ. Il faudra attendre l’année 1990, avec l’édition procurée par Gerald. J. Toomer [24] des Livres V-VII des Coniques, pour voir publiée la première édition critique de la traduction arabe des mathématiciens de Bagdad. La traduction anglaise qui accompagne l’édition de Toomer est aussi la première traduction en langue moderne des Livres arabes V-VII. Les traductions antérieures, dont la traduction française de l’ingénieur Paul Ver Eecke en 1923 [25], ne faisaient que traduire le texte latin de Halley. Le texte original de la traduction des Livres I-IV par les Banû Mûsâ restait encore inconnu après l’édition de Toomer.

C’est en 2008-2010 que des chercheurs français procurent en 7 volumes l’édition critique et la traduction française de toutes les sources grecques et arabes du traité des Coniques [26], dont la traduction des Livres arabes I-IV. Cette vaste entreprise éditoriale a été complétée par la première édition critique du texte arabe de La section de rapport [27] et par la seconde édition critique, après celle de Heiberg [28], du commentaire d’Eutocius, qui originellement accompagnait en marge son édition des Livres I-IV [29].

On trouve également dans cet ensemble, outre un commentaire mathématique de chacun des livres des Coniques, un appareil de notes linguistiques, philologiques et historiques destiné à saisir par une analyse comparative des sources directes et indirectes [30] tous les éléments susceptibles de nous rapprocher le plus possible du texte originel.

Ce travail de comparaison est absolument nécessaire dans le cas du traité des Coniques, qui n’a été transmis à la postérité que par une édition grecque tardive et une traduction arabe. D’autre part, l’analyse interne et l’analyse linguistique révèlent de nombreuses disparités dans l’ensemble de l’ouvrage. Ces discordances, comme les différences relativement significatives, parfois, entre les deux traditions grecque et arabe, soulèvent des questions fort délicates, qui demandent des investigations spécifiques. Quelle est la nature des sources utilisées par Eutocius et par les traducteurs arabes ? De quelles traditions sont-elles porteuses ? Quelles modifications et quels enrichissements leur ont-ils apportés ? Quelle source grecque les traducteurs arabes ont-ils privilégiée dans leur travail sur les quatre premiers livres ? Voilà autant d’interrogations nouvelles suscitées à la fois par l’exploration de nouvelles sources et par le progrès des instruments philologiques à la disposition des chercheurs.

Dans un tel contexte, la mise à disposition du commentaire d’Eutocius, devient très utile. Non seulement, Eutocius livre un témoignage unique sur les pratiques érudites de la fin de l’Antiquité en montrant comment on lisait un texte scientifique à cette époque, comment on tentait de le rendre accessible aux contemporains, mais il nous donne quantité d’informations sur sa propre édition du traité des Coniques. Le commentaire offre ainsi une base de comparaison précieuse, qui permet de mieux repérer les changements survenus dans le traité d’Apollonius entre la mise en circulation de l’édition commentée d’Eutocius et sa transmission au monde médiéval.

L’analyse des sources textuelles offre donc toujours à l’historien des sciences une mine d’informations.

Post-scriptum :

Je remercie vivement Valentin, Loren Coquille et Marielle Simon de leur relecture attentive et de leurs remarques très profitables.

Article édité par Christine Proust

Notes

[1La vie et l’œuvre d’Apollonius ont fait l’objet d’un ouvrage de synthèse, où l’on trouvera les références bibliographiques utiles ; voir M. Decorps-Foulquier, Recherches sur les Coniques d’Apollonius de Pergé et leurs commentateurs grecs, Klincksieck, Paris 2000. L’ensemble des résultats de cette étude sont repris et enrichis dans les trois tomes de l’édition critique du traité des Coniques et du Commentaire aux Coniques d’Eutocius d’Ascalon, parus respectivement chez De Gruyter en 2008-2010 et 2014 (Apollonius de Perge, Coniques, Scientia Graeco-Arabica, tomes 1.2 et 2.3, et Eutocius d’Ascalon, Commentaire sur le traité des Coniques d’Apollonius de Perge (Livres I-IV), Scientia Graeco-Arabica, tome 3).

[2Selon les usages de librairie de l’époque, la présence d’une lettre d’envoi à un correspondant est la marque de l’édition officielle de l’ouvrage. La lettre joue le rôle d’une préface.

[3La vie de Philonide nous est connue par le papyrus d’Herculanum n° 1044 ; voir la nouvelle édition de I. Gallo, « Vita di Filonide epicureo (PHerc. 1044) », dans Frammenti biografici da Papiri, II, Rome, 1980, p. 21-166.

[4Sur le philosophe épicurien, Basilidès de Tyr, on pourra consulter le tome II du Dictionnaire des philosophes antiques paru aux Éditions du CNRS (sous la direction de R. Goulet), Paris, 1994, p. 91

[5Hypsiclès a mentionné le titre exact de ce traité, qui ne nous a pas été transmis : Sur la comparaison du dodécaèdre et de l’icosaèdre inscrits dans une même sphère.

[6Pour en avoir une liste exhaustive, on pourra consulter l’article « Apollonius of Perga » de G.J. Toomer, dans Dictionary of Scientific Biography, I (1970), et l’article de J.P. Hogendijk, « Arabic Traces of Lost Works of Apollonius », Archive for History of Exact Science, 35, 1986, p. 187-253.

[7Pour une vue d’ensemble des emprunts faits à la mathématique grecque par les savants arabes, on peut consulter l’ouvrage de A.P. Youschkevitch, Les mathématiques arabes (VIIIe-XVe siècles), Paris, 1976 ; le tome 2 de l’ouvrage Histoire des Sciences Arabes (sous la direction de R. Rashed, Paris, 1997) ; les trois volumes de R. Rashed, Mathématiques infinitésimales du IXe siècle au XIe siècle, Londres, 1996-2002.

[8On peut se reporter à l’ouvrage de C.B. Boyer, A History of Mathematics, 2ème édition, Singapour, 1989, p. 95-113.

[9L’épigramme est rapportée par Eutocius d’Ascalon, dans son Commentaire au Livre II du traité d’Archimède De la sphère et du cylindre (Archimède, IV, éd. Ch. Mugler, Collection des Universités de France, Paris, 1972, p. 68-9). On lit à partir du vers 7 : « Renonce à chercher (s/e la solution au problème de trouver deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite donnés) au moyen du dispositif laborieux des cylindres d’Archytas ou des trois lignes de Ménechme obtenues par des sections coniques ».

[10C’est-à-dire le problème qui consiste à trouver le côté du cube de volume double. 

[11Le problème de l’insertion de deux moyennes entre deux longueurs données $a$ et $b$ consiste à trouver deux autres longueurs $x$ et $y$ telles que $\frac{x}{a}=\frac{y}{x}=\frac{b}{y} \quad \text{ou} \quad {\frac{x}{a}}^3 =\frac{b}{a}$ ; le problème se ramène donc à l’extraction de la racine cubique de $\frac{b}{a}$. Quand $b$ est le double de $a$, comme dans le cas du problème délien, la duplication du cube est en fait la recherche de la racine cubique de $2$. Dans son commentaire du traité d’Archimède, De la sphère et du cylindre, Eutocius d’Ascalon a rassemblé les solutions antiques proposées pour la construction de deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite donnés, dont les solutions par intersections de coniques ; voir l’ouvrage précité, Archimède, tome IV, p. 55-75.

[12Par exemple, le lieu géométrique des points du plan à égale distance de deux points distincts A et B est la médiatrice du segment AB.

[13Voir le chapitre « The Generation of Euclid » de l’ouvrage de Wilbur R. Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, 1986.

[14La catoptrique est la partie de l’optique relative à la réflexion de la lumière et donc à la construction de miroirs (katoptron est le nom du miroir en grec).

[15Nous ne possédons que la version arabe de cet ouvrage. On peut en prendre connaissance dans le volume Les catoptriciens grecs, éd. R. Rashed, Collection des Universités de France, Paris, 2000. La lecture de la préface montre que Dioclès est postérieur à Archimède puisqu’il le cite ainsi que ses continuateurs. Mais, dans son travail, on ne trouve aucune référence au traitement apollonien des coniques.

[16Apollonius donne cette information dans sa préface au Livre IV de son traité des Coniques.

[17L’hypoténuse est la génératrice ou le côté du cône ; pendant le mouvement de rotation, ce côté engendre la surface latérale du cône.

[18Ce sont les deux parties opposées de la surface du cône de part et d’autre du sommet.

[19Archimède désignait encore l’hyperbole comme « la section de cône obtusangle » (l’angle au sommet du cône est obtus), l’ellipse comme « la section de cône acutangle » (l’angle au sommet du cône est aigu) et la parabole comme « la section de cône rectangle » (l’angle au sommet du cône est droit), même si l’obtention de l’ellipse par la section oblique d’un cône quelconque est attestée chez lui comme chez Euclide.

[20Ce sont les propositions 11-14 du Livre I des Coniques qui établissent les propriétés caractéristiques des courbes.

[21Le terme éléments, qui est utilisé par Apollonius lui-même dans sa préface du Livre I, n’est pas à prendre au sens de « propositions élémentaires », ce qui ferait des quatre premiers Livres une synthèse à usage scolaire, mais au sens où chaque proposition est un théorème utile à la connaissance d’autres propositions ; dans son commentaire du Livre I des Éléments d’Euclide, le philosophe Proclus (Vème s.) explique clairement l’usage de ce mot.

[22Apollonius of Perga’s Conica. Text, Context, Subtex, Leyde, 2001.

[23Les publications antérieures ont été consacrées à des résumés de mathématiciens arabes.

[24G. J. Toomer, Apollonius Conics Books V to VII (2 volumes), New York, 1990.

[25P. Ver Eecke, Les Coniques d’Apollonius de Perge. Œuvres traduites pour la première fois du grec en français avec une introduction et des notes, Bruges, 1923.

[26Ce travail fait l’objet de l’édition gréco-arabe publiée dans la collection Scientia Graeco-Arabica de l’éditeur allemand De Gruyter. L’édition des Livres grecs I-IV est due à Micheline Decorps-Foulquier et Michel Federspiel ; l’édition des Livres arabes I-VII est due à Roshdi Rashed, auquel on doit également le commentaire mathématique de l’ensemble.

[27L’édition est procurée par Roshdi Rashed et Hélène Bellosta.

[28Le commentaire d’Eutocius a été édité par Heiberg dans le volume II de son édition des Coniques.

[29Elle est due à Micheline Decorps-Foulquier et Michel Federspiel. La traduction française du commentaire d’Eutocius proposée est la première traduction en langue vernaculaire.

[30La tradition indirecte est constituée par l’ensemble des témoignages des mathématiciens contemporains ou postérieurs qui ont édité, commenté ou cité le traité d’Apollonius.

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Pour citer cet article :

Micheline Decorps-Foulquier — «Apollonius et le traité des Coniques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Apollonius et le traité des Coniques

    le 17 mai 2015 à 21:15, par Barbara Schapira

    Bonsoir,

    Je ne sais pas si le point de vue y est le même que celui d’Apollonius, mais je suis tombée un jour sur un traité de Lebesgue sur les coniques, un peu inattendu pour moi, mais un vrai bonheur. En particulier, il y expose les « théorèmes belges », pour trouver géométriquement les foyers d’une conique, théorèmes peu ou pas assez présentés dans les cours que j’avais pu croiser auparavant sur le sujet.

    Barbara

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