Arbres mathématiques ; mathématiques luxuriantes (Descartes, Cendrars, Mazur, Gromov ; philosophie, poésie, mathématiques)

Le 4 novembre 2011  - Ecrit par  Joël Merker Voir les commentaires

Si loin dans notre passé classique : l’arbre de toutes les sciences, méditable par un seul homme


Toute la philosophie est comme un
arbre dont les racines sont la métaphysique, le tronc est la physique
et les branches qui sortent de ce tronc sont toutes les autres
sciences, qui se réduisent à trois principales : à savoir la médecine,
la mécanique et la morale.
[Descartes1625]

L’arbre de toutes les formules mathématiques possibles

Le géomètre contemporain Mikhaïl Gromov suggérait, il y a une
dizaine d’années ([GromovLangevin2000]),
de visualiser le corps des mathématiques
comme un « arbre » immense qui se développe de manière
exponentielle, « l’arbre de toutes les formules mathématiques
possibles », dont les racines seraient les axiomes de systèmes
fondamentaux, tels que par exemple la théorie des ensembles,
l’algèbre, la topologie générale, ou encore l’analyse non
standard. Les branches maîtresses d’un tel arbre seraient
constituées de disciplines majeures qui ont un intérêt
transversal, comme par exemple l’algèbre linéaire, la
géométrie différentielle, ou la théorie de l’intégration.
Avec une spécialisation qui s’accentue encore, en s’élevant dans cet
arbre, on se rapprocherait des branches plus récentes, telles que
les formules de représentation intégrale, les systèmes
dynamiques holomorphes ou la topologie symplectique, on s’élèverait
ensuite aux ramures et aux nervures contemporaines pour y découvrir
les innombrables « théorèmes centraux » qui coagulent des
sujets de recherche actifs. On atteindrait enfin les feuillages
viridescents et terminaux qui recueillent l’énergie précieuse à
la croissance du tout. À ces extrémités, le
sujet-mathématicien
jouerait le rôle d’une précieuse
chlorophylle, mortelle, mais essentielle.

Ramification multivaluée et orbifoldes de l’âme

Si « arbre » il y a, c’est en effet parce que les résultats
mathématiques se solidifient et se « lignifient » sous le
« cambium » des surfaces actives. La croissance de cet arbre procède
d’une accrétion synonyme de progrès et de stratification
théorique. De plus, l’horizon des mathématiques vivantes se « ramifie vers l’Inconnu par inversion
multivaluée
 [1] »,
de même que les branches étales d’un chêne progressent dans
l’air pénétrable en laissant éclater leurs ramures. Et surtout,
à cause d’une exponentiation incessante des possibles, et à cause de
bifurcations imprévisibles, la croissance de cet arbre
mathématique est de nature intrinsèquement
« hyperbolique [2] » :
elle possède une démesure interne qui dépasse largement toute
taille humaine.

Luxuriances végétales démultipliées


Impression de force, de puissance et de gloire, mais aussi un
sentiment d’absurde à l’aspect de cette cathédrale végétale
dont la façade luxuriante, les fûts géants couronnés de
feuillages, les nefs sauvages, les arcades béantes, les ogives qui
se ramifient à l’infini, les portails multipliés dans toutes les
directions donnent toutes également sur le vide et sont
étrangement déserts.
[Cendrars1985]

Telle est donc l’image allégorique de l’arbre mathématique, qui
règne dans l’immensité invisible de son ouverture.

Questions gromoviennes troublantes

Mais cette idée d’un tout architectural bien enraciné sur ses
bases et ramifié à ses extrémités créatrices n’est pas
exactement celle que Mikhaïl Gromov souhaite suggérer, car elle
serait essentiellement inexacte par imperfection de pensée.

En effet, l’arbre mathématique n’existe pas vraiment en tant
qu’arbre actualisé comme « cathédrale végétale », fût-il
d’une réalité idéale et supérieure, car en fait, la
forme
de l’arbre mathématique n’est pas définitivement fixée ; aussi
cet « arbre » n’est-il pas aisément embrassable comme un tout qui
se donnerait immédiatement au regard dans l’acte simple d’une
perception. Si donc il existe un arbre de la connaissance
mathématique, ce doit être un arbre dont la présence reste en partie
indécise. Si donc les mathématiques sont arbre au sens d’une
métaphore allusive, ce doit être surtout quant à ce qu’elles
suggèrent d’immensité abstraite et de potentialité irréalisée.

L’inachèvement, partout, des cathédrales


La première pierre de la Sagrada Familia, la cathédrale d’Antonio
Gaudi, a été posée en 1882. L’architecte n’ayant pas laissé de
plans, nul ne sait aujourd’hui si elle sera terminée un jour et quel
pourrait être précisément son aspect final. Il en est de même
de certaines théories en mathématiques, théories pour lesquelles
les conjectures représentent les échafaudages temporaires.
[Mazur2001]

Spéculation, « mon amour »

Enfin, quant à cette immensité arborescente potentielle que seraient
les mathématiques pour l’esprit poétique, on peut se livrer, avec
Mikhaïl Gromov, à un jeu de pure
spéculation pseudo-rationnelle qui soulève néanmoins des problèmes
philosophiques extrêmement profonds. En effet, des questions
naïves, simples, métaphysiques, affluent aisément : Comment
mesurer les dimensions de cet « arbre » ? Quelle est la topologie,
quelle est la géométrie globale de cet « arbre » ? Quelle est
l’« échelle humaine » vis-à-vis de cet arbre ? Quels
sous-ensembles de cet « arbre » représentent les entités que
nous appelons des théorèmes ? Quels sont les échantillons de
cet « arbre » qui recèlent le plus de « sens »
mathématique ?

« Nous », minuscule nuage à la dérive

Grimpons alors dans cet « arbre de Hilbert », continue Mikhaïl
Gromov, où nous nous voyons confinés dans une région minuscule,
c’est la région de nos « mathématiques humaines », une sorte
de petit nuage allant à la dérive dans l’immensité de branches
qui s’élargissent exponentiellement. Nous nous demandons : quelles
sont la taille, la forme et la position de ce petit nuage ? Se
métamorphose-t-il avec le temps ? Pourquoi notre petit nuage
possède-t-il des affinités avec certains nœuds de l’arbre ?
Quelles parties de cet arbre jugeons-nous « inintéressantes »,
et quelles parties considérons-nous comme de « bonnes »
mathématiques ? Pourquoi en est-il ainsi, et non pas autrement ?

Quelques références

[Cendrars1985]
Cendrars, B. :
Trop c’est trop, Équateur, Denoël, Paris, 1985.

[Descartes1625]
Descartes, R. :
Principes de la Philosophie, lettre-préface.

[GromovLangevin2000]
Gromov, M. :
Interview : Mikhaïl Gromov (par
R. Langevin), dans : Development of Mathematics 1950—2000,
J.-P. Pier Éditeur, Birkhäuser, Boston, p. 1213.

[Mazur2001]
Mazur, B. :
Le Renard et le Hérisson, dans :
Grandes et petites énigmes mathématiques,
La Recherche, numéro spécial, 346, Octobre 2001.

Notes

[1--- comme s’il
s’agissait d’un revêtement ramifié entre deux
surfaces de Riemann ---

[2En 1988, Mikhaïl Gromov a donné un exposé dans lequel il définissait
une généralisation ontologiquement très étendue de la notion de groupe
libre. Il a introduit des notions métriques nouvelles pour relier les
groupes libres aux variétés à courbure négative, de loin les plus
nombreuses. Un théorème essentiel de la théorie énonce que tout
groupe hyperbolique finiment engendré est de présentation finie.

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Pour citer cet article :

Joël Merker — «Arbres mathématiques ; mathématiques luxuriantes (Descartes, Cendrars, Mazur, Gromov ; philosophie, poésie, mathématiques)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

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