Artur Avila, médaille Fields 2014

Piste noire Le 26 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations Voir les commentaires

Cette publication « augmentée » de Artur Avila, médaille Fields 2014, par Etienne Ghys reprend l’article d’origine publié le 13 août 2014
auquel viennent s’ajouter les simulations numériques interactives réalisées par Marc Monticelli​.

Artur Avila a reçu la médaille Fields pour ses travaux dans la théorie des systèmes dynamiques.

Artur est né en 1979 à Rio de Janeiro.
Il a soutenu une thèse à 21 ans (soit 5 ou 6 ans plus tôt que la moyenne) sous la direction de Welington de Melo, à l’IMPA (Instituto de Matematica Pura e Aplicada), également à Rio.
Il aurait été difficile de trouver un meilleur endroit pour développer le type de mathématiques que pratique Artur.
Fondé il y a 60 ans, l’IMPA est devenu l’un des meilleurs instituts au monde pour l’étude des systèmes dynamiques.
Une médaille Fields ne peut éclore que sur un terreau favorable.
La première médaille Fields en Amérique du Sud doit beaucoup à cet institut.

Très jeune, Artur est venu à Paris et le CNRS lui a offert un poste de chargé de recherche en 2003.
Il a pu y rencontrer une approche différente des mathématiques.
Il a été promu directeur de recherche CNRS en 2008, avant ses trente ans, ce qui est tout à fait exceptionnel.

Aujourd’hui, il partage son temps entre l’IMPA et l’Institut Mathématique de Jussieu.
Il a d’ailleurs la double nationalité, brésilienne et française.
Un exemple de collaboration internationale qui fonctionne parfaitement.

Même s’il est encore très jeune, il a déjà derrière lui une œuvre considérable.
Les moyens de communication entre mathématiciens ont beaucoup évolué depuis une dizaine d’années et le travail d’Artur l’illustre parfaitement.
Aujourd’hui, internet a changé la vie des chercheurs qui peuvent communiquer instantanément et consulter d’immenses bases de données sans sortir de chez eux.
Presque tous les articles d’Artur sont écrits avec des collaborateurs tout autour de la planète.
Une quarantaine de co-auteurs.
On peut penser qu’Artur est un grand utilisateur de Skype !

Il est strictement impossible de donner un aperçu de son travail en quelques pages, en restant à un niveau élémentaire.

Les systèmes dynamiques

La dynamique est une science très ancienne.
C’est surtout Newton qui a permis de lui donner un caractère prédictif grâce au calcul différentiel et intégral.
Si on connaît les forces qui agissent sur un système (par exemple la gravitation agissant sur les planètes), on peut écrire une équation différentielle qui régit le mouvement.
Les mathématiciens et les physiciens ont donc cherché à résoudre ces équations différentielles.
Les mathématiciens pensent souvent qu’écrire une équation est en général facile mais que la résoudre est une autre chose.
Le calcul différentiel se révéla étonnamment efficace.
On peut penser par exemple à la découverte de la planète Neptune en 1846, grâce au calcul différentiel — du bout de la plume, comme dira Arago — par Adams et Le Verrier.

Vers la fin du dix-neuvième siècle, Poincaré prit conscience que, dans la majorité des cas, il est impossible de trouver une formule pour les solutions d’une équation différentielle.
La théorie du chaos prit naissance à cette époque.
Au lieu d’essayer de trouver des formules décrivant le mouvement (par exemple des planètes), on cherchait plutôt à répondre à des questions qualitatives, sans passer par des formules exactes.
Par exemple, notre système solaire est-il stable ?
Autrement dit, le système solaire restera-t-il qualitativement semblable à lui-même ou bien une planète pourrait-elle être éjectée ou entrer en collision avec une autre ?

Dans les années 1960, on prit progressivement conscience d’un autre phénomène.
Le physicien ne connaît jamais exactement les forces qui agissent car il y a toujours de petites quantités qu’on est amené à négliger, comme des frottements par exemple.
Ces quantités sont peut-être négligeables mais sur le long terme elles peuvent affecter le mouvement de manière importante.
Pour simplifier, on peut dire qu’il s’agit de l’approche de Smale et Thom : l’équation différentielle qu’il s’agit d’étudier n’est connue qu’approximativement et il s’agit de décrire qualitativement la nature de ses solutions.

La plupart des travaux de Artur Avila tournent autour de cette question très générale :

Quel est le comportement qualitatif d’un système dynamique typique ?

Je ne citerai que deux résultats, qui ne donnent qu’une bien faible image de son travail.

Dynamique en dimension 1

La dynamique étudie l’évolution dans le temps d’un « système ».
En pratique, on dispose d’un espace $X$ qui, dans le cas le plus simple peut être un intervalle $[0,1]$, et d’une application $f : X \to X$.
On part d’une position initiale $x_0$ dans $X$.
Une seconde plus tard, le point se trouve en $x_1=f(x_0)$.
Deux secondes plus tard, il se trouve en $x_2=f(x_1)= f^2(x_0)$.
Et ainsi de suite.
La théorie cherche à comprendre la nature de la suite $x_n=f^n(x_0)$, qu’on appelle l’orbite ou la trajectoire de c, lorsque le « temps » $n$ tend vers l’infini.

Par exemple, choisissons un nombre réel $r$ compris entre $0$ et $4$ et considérons l’application
\[ f_r(x) = r x (1-x). \]
Pour chaque valeur de $r$, on peut choisir une valeur de $x_0$ et calculer sa trajectoire, avec un ordinateur ou une calculette.
Voici ce qu’on obtient pour $r=3,2$ et pour $r=3,8$.

PNG - 57 ko
PNG - 391.3 ko

On voit que les comportements sont très différents.
Dans le premier exemple, la trajectoire s’approche de ce qu’on appelle un point périodique, ici de période $2$.
Si on attend assez longtemps, le système semble osciller entre deux positions, pour les temps pairs et impairs.
On dit que ce comportement est régulier : rien de bien méchant.

Le second cas est bien différent.
La trajectoire semble imprévisible et chaotique.
Elle ne semble pas devenir périodique.
Elle se distribue dans l’intervalle selon une certaine loi de répartition qui semble indépendante de la condition initiale.
La dynamique est chaotique et compliquée mais une seule et même distribution permet de décrire (presque toutes) les trajectoires.
Le chaos est en quelque sorte maîtrisé : on parle de stabilité stochastique.

Faites l’expérience en utilisant la simulation ci-dessous. Changez la valeur de $r$ grâce au slider, et celle $x_0$ en cliquant/glissant dans la figure.
Constatez la sensibilité aux conditions initiales en activant ce mode.

Source : experiences.math.cnrs.fr

Choisissez par exemple $r=3.8$ et quelques conditions initiales de votre choix.
Vous verrez que la répartition des trajectoires dans l’intervalle ne varie pas.
Depuis longtemps (la fin des années 1970), on a remarqué que ces deux comportements sont les seuls observés sauf à choisir « très spécifiquement » le paramètre. 

Cette dichotomie entre la régularité et la stabilité stochastique a été en effet observée depuis longtemps mais la démontrer était une toute autre chose.
Il a fallu le travail de beaucoup de mathématiciens avant de parvenir à ce résultat, dû à M. Lyubich :

Pour presque toute [1] valeur de $r$, la dynamique de $f_r$ est ou bien régulière ou bien stochastiquement stable.

Ce théorème n’a qu’un défaut : il ne traite que d’applications $f$ très particulières puisqu’il s’agit d’un polynôme du second degré en $x$.
La question se posait pour des applications plus générales.

L’un des premiers résultats importants de Avila, en collaboration avec de Melo et Lyubich a été de généraliser ce théorème à des applications $f$ beaucoup plus générales, presque quelconques en fait.
Par exemple, mais ce n’est qu’un exemple, considérez l’ensemble des polynômes $f$ d’un certain degré $d\geq2$ qui ont les propriétés suivantes :

— L’image de $[0,1]$ par $f$ est contenue dans $[0,1]$.

— $f$ possède un seul maximum dans l’intervalle $[0,1]$ et la dérivée seconde en ce maximum est non nulle.

Le théorème affirme que presque tous ces polynômes sont réguliers ou stochastiquement stables [2].

Ce théorème important clôt en quelque sorte trente années d’efforts !

La dynamique des billards

IdM a déjà consacré plusieurs articles aux billards, ici, , et encore là.

Il s’agit de problèmes inspirés par la théorie cinétique des gaz, fondée par Maxwell et Boltzmann (voir par exemple cet article).
Imaginez une boîte contenant un gaz, constitué d’un très grand nombre de molécules.
Supposons, ce qui n’est pas très réaliste physiquement, que le gaz soit si dilué que les molécules ne n’entrechoquent pas entre elles ; elles ne font que rebondir sur les parois.
Chaque particule joue donc au billard dans la boîte, sans se préoccuper des autres.
On est dans une situation dans laquelle une trajectoire particulière ne nous intéresse pas directement.
C’est au contraire l’évolution de la distribution des molécules dans la boîte qui nous intéresse.

PNG - 986 ko

On aimerait montrer que les molécules se mélangent bien, à force de subir des chocs contre les parois.
Par exemple, imaginez que vous coupiez par la pensée la boîte en deux moitiés de même volume, et que vous coloriez les molécules d’un côté en rouge et de l’autre en bleu.
Les chocs vont probablement détruire cet arrangement et on peut penser qu’assez rapidement les molécules bleues et rouges vont se mélanger.
Dans chaque petite région de la boîte, il y aura à peu près autant de molécules bleues et rouges.
La phrase qui précède est-elle vraie ? Ce mélange a-t-il lieu ?

On simplifie le problème en supposant que la boîte est en fait un polygone dans le plan.
Supposons même que tous les angles du polygone sont de la forme $360 \frac{p}{q}$ degrés où $p,q$ sont des entiers.
On parle alors d’un billard polygonal rationnel.
Dans ce cas, on comprend que lorsqu’une bille rebondit sur les parois, les diverses directions prises par la bille ne prennent qu’un nombre fini de valeurs.
Par exemple, si vous lancez une bille dans un rectangle, le vecteur vitesse de la bille ne peut prendre que quatre valeurs.

Si l’on place la bille sur le bord du polygone et qu’on frappe dans une certaine direction, la bille va venir taper en un autre point du bord, et après le rebond va prendre une autre direction.
C’est cette dynamique qu’on aimerait comprendre.
Il n’est pas trop difficile de voir que toutes ces réductions nous amènent à une dynamique très simple, qu’on appelle un échange d’intervalles.

Voici de quoi il s’agit.
Choisissez un entier $k$, par exemple $k=4$.
Choisissez $k$ nombres positifs $a_1,a_2,…, a_k$ dont la somme est $1$.
Décomposez l’intervalle $[0,1]$ en $k$ intervalles $I_1,…, I_k$ dont les longueurs sont $a_1,a_2,…, a_k$.
Maintenant, permutez les $k$ intervalles selon une permutation de votre choix.
Par exemple comme ceci.

PNG - 23.9 ko

Chaque point $x$ de l’intervalle $[0,1]$ en ne se préoccupant pas des extrémités des $I_i$ est donc envoyé sur un autre point $f(x)$ de $[0,1]$.

Avila et Forni ont montré que pour presque toutes les valeurs des longueurs des intervalles, et pour toute permutation [3], l’échange d’intervalle est faiblement mélangeant.

Il faut encore que j’explique ce que veut dire faiblement mélangeant.
Je commence par expliquer ce que veut dire mélangeant.
Considérez deux intervalles $J_1,J_2$ dans $[0,1]$.
L’image $f^n(J_1)$ est une réunion d’intervalles, de même que l’intersection $f^n(J_1) \cap J_2$.
Notons $long(f^n(J_1) \cap J_2)$ la somme des longueurs de ces intervalles.
Dire que $f$ est mélangeant signifie que lorsque le « temps » $n$ tend vers l’infini, $long(f^n(J_1) \cap J_2)$ tend vers le produit des longueurs de $J_1$ et de $J_2$.
Cela signifie que lorsque le temps tend vers l’infini, les deux événements $f^n(J_1)$ et $J_2$ ont tendance à devenir indépendants au sens des probabilités.

Voilà une belle définition mais… Katok a montré qu’aucun échange d’intervalle n’a cette propriété !
Cela a amené à se demander si une forme de mélange un tout petit peu moins forte n’était cependant pas satisfaite par les échanges d’intervalles (à part cas exceptionnels). Il s’agit du « mélange faible » : on n’obtient l’indépendance $long(I \cap f^n(J)) \simeq long(I)long(J)$ pour $n$ grand, seulement après avoir exclu un « tout petit » ensemble d’entiers $n$ [4].

C’est ce qu’ont démontré Avila et Forni :

Quelques articles de Artur Avila

On trouve les articles publiés et les prépublications ici

Les deux travaux dont il a été question ici sont :

Regular or stochastic dynamics in real analytic families of unimodal mapsA. Avila, Mikhail Lyubich and W. de Melo. 
Inventiones Mathematicae 154 (2003), 451-550.

Weak mixing for interval exchange transformations and translation flowsA. Avila, Giovanni Forni. 
Annals of Mathematics 165 (2007), 637-664.

Article édité par Étienne Ghys

Notes

[1Le « presque tout » dans cet énoncé est dans le sens technique de la « mesure de Lebesgue ».

[2Pour être précis, il faudrait modifier un peu la définition de la stabilité stochastique… que je n’ai pas donnée !

[3qui n’est pas une rotation et qui est irréductible… Une permutation $\sigma : \{ 1,…, k\}$ n’est pas irréductible s’il existe un entier $ i < k$ tel que $\sigma \{1, …, i\} = \{1, …, i\}$. Un échange réductible est une juxtaposition d’échanges qui peuvent être étudiés indépendamment.

[4Un ensemble $E$ est « tout petit » s’il est « de densité nulle », ce qui signifie que le rapport $Cardinal (E \cap \{1, …, n\} / n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l’infini.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Étienne Ghys, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations — «Artur Avila, médaille Fields 2014» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM