Assembler l’inachevé

Le 18 octobre 2009  - Ecrit par  Joël Merker Voir les commentaires

Circonstances historiques

Le 10 juin 1854, à l’occasion de ses épreuves d’admission à
la célèbre Université Georges Auguste
de Göttingen, Bernhard Riemann (1826-1866), alors
âgé de vingt-huit ans, défend oralement son
Habilitationsvortrag
, qu’il a intitulée :

« Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie
 [1] »

En Allemagne au dix-neuvième siècle, le diplôme d’habilitation est
formellement requis pour être en mesure d’obtenir le statut de
Privatdozent
, c’est-à-dire de chargé de cours. Non rétribuées
par l’université, ces positions sont néanmoins prisées ; le salaire
afférent y dépend de la libéralité des étudiants qui assistent
régulièrement aux leçons.

Au début des années 1850, on compte à Göttingen une dizaine de
professeurs permanents disposant d’une chaire. Le 16 décembre 1851,
Riemann avait soutenu en latin sa thèse de doctorat
Inauguraldissertation
consacrée aux fonctions d’une variable
complexe [2],
et le jury d’experts qui avait été consulté pour autoriser la
soutenance était composé de sept « grands » professeurs : Gauss en
mathématiques, Mitscherlich en rhétorique, Haussmann en minéralogie,
Ritter en philosophie, Hoeck et Hermann en philologie classique, Waitz
en histoire et Weber en physique
([remm1993]).
Aussi n’est-il
pas étonnant que, dans un tel contexte d’universalité des compétences
et de proximité des savoirs, Riemann ait dû prononcer, deux ans et
demi plus tard pour l’habilitation, sa fameuse conférence d’épreuve
Probevorlesung devant un auditoire majoritairement composé de
non-mathématiciens, dans le cadre de ce qu’on appelle aujourd’hui un
Colloquium s’adressant en principe à tous les protagonistes de
l’université.

Frustration d’historien des mathématiques : les archives de la
Faculté philosophique de Göttingen n’ont conservé aucune trace
concernant les rapports, les membres du jury, les discussions, les
questions, ni pour la thèse, ni pour l’habilitation de
Riemann. D’après Dedekind, les seuls éléments incontestables
concernant les circonstances de l’habilitation qui ne relèvent pas
du mythe post-mortem sont deux lettres de Riemann, la première
écrite le 28 décembre 1853 à son frère Wilhelm au moment de
fixer tout ce qui est inhérent à la soutenance
 [3],
et la seconde à ce même frère, le 26 juin 1854, deux semaines
après la
soutenance [4].
Maigre documentation, quand on pense à toutes les spéculations qui ont
été suscitées dans l’imagination des géomètres depuis plus d’un siècle
et demi.

Comme les règles universitaires l’exigent encore aujourd’hui en
Allemagne, le candidat à l’habilitation se doit de proposer trois
sujets distincts, afin de montrer au mieux l’extension thématique de
ses travaux de recherche. Ainsi Riemann propose-t-il à la fin de
l’année 1853 un sujet en Analyse, un sujet en Algèbre et un sujet en
Géométrie, à savoir :

$\bullet$
un mémoire abouti sur les séries trigonométriques qu’il avait déjà
achevé pendant l’automne [5] ;

$\bullet$
un travail sur les intersections entre deux courbes planes du second
degré [6] ;

$\bullet$
une réflexion générale sur les fondements de la géométrie.

Dans sa courte biographie
[ded1892], Dedekind a écrit que
Gauss aurait sélectionné le troisième sujet en dérogeant à la
convention académique habituelle de choisir le premier, parce qu’il
était curieux de voir comment un si jeune mathématicien pourrait
traiter une question qui demande tant de maturité
scientifique.
Remmert
a reproduit le rapport de Gauss, écrit en
calligraphie pré-sütterline, sur la dissertation inaugurale de Riemann
de 1851 ; Gauss y appréciait déjà l’« indépendance productive et
louable » rümliche productive Selbstthätigkeit de Riemann.
Mais d’après Laugwitz
[laug1999],
le premier sujet proposé
était thématiquement trop proche de la thèse de Riemann ; le
contenu du second est probablement apparu assez évident à Gauss ;
de telle sorte que les professeurs concernés, se fiant à l’expertise
de Gauss, ne pouvaient qu’être conduits à sélectionner le
troisième sujet sur la géométrie.

Il y a des raisons de penser que Riemann, en prenant le risque de
proposer un travail qui n’était que potentiellement en gestation,
avait l’intention de s’exposer à la contrainte, dans un cadre
institutionnel, de rédiger ses idées nouvelles qu’il jugeait
fondamentales, bien qu’inachevées. En vérité, sur le moment, Riemann
ne semble pas avoir été tellement préoccupé par cette tâche
supplémentaire, étant donné qu’après avoir programmé une
soutenance vers la fin de l’été [7],
il ne s’y est consacré à plein temps qu’après Pâques 1854. En fait,
durant l’hiver 1854, il reprend ses recherches sur les relations entre
l’électricité, le magnétisme, la lumière et la
gravitation [8],
tout en travaillant comme assistant de Weber à l’institut de
physique mathématique. Malheureusement, le mauvais temps hivernal et
une crise de surmenage le conduisent à la maladie—il était
hypocondriaque et il souffrait régulièrement de la fragilité de ses
poumons—, ce qui le contraint à interrompre ses travaux pour se
reposer à la campagne. Ayant recouvré la santé, il rédigera
donc sa conférence d’épreuve du
lundi de Pâques au lundi de Pentecôte, en sept
semaines environ [9].

Appréciations d’universalité

Newman [new1956] qualifie d’« impérissable » ce discours
d’habilitation, qui rayonne encore d’une puissance philosophique et
mathématique singulière. C’est aussi l’un des très rares exemples
d’accession, en mathématique, au statut de classique
intemporel [10].

Dans son essence même, l’ Habilitationsvortrag de
Riemann est en effet
un chef-d’œuvre remarquable d’inachèvement et
d’ouverture
 ; de par les conséquences multiples qu’elle recèle,
elle a eu en effet une influence déterminante quant au destin de
branches mathématiques neuves qui devaient être développées
ultérieurement, telles que par exemple : les fondements de la
géométrie, la topologie, la géométrie différentielle, la
géométrie riemannienne ou finslérienne,
etc.

Toutefois, même si les considérations de Riemann sont apparemment
très accessibles à la lecture et semblent avoir été dictées par
une langue philosophique universelle et intemporelle, elles renferment
nombre d’affirmations énigmatiques ; et comme ces affirmations
remarquables ne sont pas justifiées par des démonstrations
mathématiques, elles ont aiguisé la sagacité des géomètres pendant
des décennies. Sans concession, Sophus Lie commentera les zones de
pénombre
qui touchent à cette théorie entièrement nouvelle des groupes continus
de transformations, théorie que Riemann ne possédait manifestement
pas, et dont Lie allait faire l’œuvre monumentale de sa vie. On
peut s’imaginer néanmoins que Riemann a étayé par des recherches
analytiques rigoureuses la plupart des propositions qu’il énonce
seulement dans un langage conceptuel, eu égard au devoir qu’il avait
vis-à-vis de son auditoire d’user au minimum d’un appareil
technique [11].

Grâce à sa pénétration conceptuelle, ce texte allait donc
devenir une source d’inspiration récurrente dans le dernier tiers du
19ième siècle—et aussi à la
charnière du 20ième—, au moment où la
clarification et l’approfondissement des concepts fondamentaux
s’affirmaient comme l’une des tendances dominantes en
mathématiques. Ainsi, faudra-t-il attendre les travaux de Dedekind,
Gehring, Clifford, Helmholtz, Christoffel, Lipschitz, Beltrami,
Frobenius, Lie, Killing, Engel, Ricci-Curbastro, Levi-Civita,
Schouten, É. Cartan et d’autres pour mesurer l’ampleur des
développements inattendus que ces idées à peine esquissées
contenaient en germe.

Assembler l’inachevé

C’est certainement la citation que Riemann a choisi de mettre en
exergue à ses Fragmente philosophischen Inhalts [12]
qui caractérise le mieux sa propre position dans ses travaux
scientifiques [13] :

« Ne rejetez pas avec mépris les présents que j’ai rassemblés
pour vous avec dévotion avant de les avoir compris. »
Lucrèce, De Natura Rerum

Plus de la moitié de l’œuvre fascinante de Riemann est en effet
constituée de travaux qu’il jugeait inaboutis et qu’il s’est
refusé, pour cette raison,
à publier [14].
D’un point de vue philosophique, la règle riemannienne de
direction de l’esprit consiste donc à rassembler des éléments qui
ne sont pas compris
, à formuler des questions réflexives les
concernant, à renverser les interrogations spéculatives, à
désigner les questions non résolues
. Comme Socrate, Riemann exprime
qu’il ne sait pas ; cet état de fait qui est impersonnel et
universel, le mathématicien doit l’accepter, puisqu’il fait partie
intégrante de l’essence même des mathématiques.

Une telle posture générale s’apparente donc plus à une volonté
d’ignorance
qu’au doute systématique de Descartes, à ceci près que la
volonté d’ignorance, en mathématiques, ne peut pas être une
aporétique de principe comme l’est la maïeutique socratique,
puisqu’elle doit déboucher à terme sur des propositions rigoureuses,
sur des théorèmes, sur des connaissances adéquates. Analyser la
métaphysique des mathématiques
que nous a léguée Riemann, c’est d’une
certaine manière entrer dans une topologie de l’ouverture
acceptée
de la pensée.


[bart2003]
Barthes, R. :
La préparation du romain, I et II, Cours et séminaires au
Collège de France (1978—1979 et 1979—1980)
, texte établi,
annoté et présenté par Nathalie Léger, Seuil, Paris, 2003,
478 pp.

[bell1939]
Bell, E.T. :
Les grands mathématiciens, traduit
de l’anglais et préfacé par A. Gandillon, Payot, Paris, 1939.

[ded1892]
Dedekind, R. :
Bernhard Riemann’s Lebenslauf, in [riem1892],
pp. 541—558.

[laug1999]
Laugwitz, D. :
Bernhard Riemann, 1826—1866. Turning points in the conception of
mathematics
, traduit en anglais par Abe Shenitzer, Birkhäuser, Basel,
1999.

[neue1981a]
Neuenschwander, E.
Lettres de Bernhard Riemann à sa famille,
Cahiers du Séminaire d’Histoire des Mathématiques, 2
pp. 85—131, Inst. Henri Poincaré, Paris, 1981.

[new1956]
Newman, J.R. :
The world of mathematics, vol. 1,
New York, Simon & Schuster, 1956.

[remm1993]
Remmert, R. :
The Riemann-file Nr. 135 of the Philosophische Fakultät
of the Georgia Augusta at Göttingen
,
Math. Intelligencer 15 (1993), no. 3,
44—48.

[riem1898]
Riemann, B. :
Œuvres mathématiques, traduites en français
par L. Laugel, Gauthier-Villars, Paris,
1898. Réédition J. Gabay, Paris, 1990.

[riem1892]
Riemann, B. :
Gesammelte mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlass,
édité avec l’aide de R. Dedekind et H. Weber, Leipzig, Teubner, 1876 ;
2ème édition par H. Weber, 1892.

[tazz2002]
Tazzioli, R. :
Riemann, le géomètre de la nature,
Les génies de la science, no. 12, Pour la Science, numéro
spécial, août-novembre 2002.

Notes

[1« Uber die Hypothesen, welche der
Geometrie zu Grunde liegen »
.
Paru en 1867 à titre posthume dans le
tome XIII des Mémoires de la Société Royale des Sciences de
Göttingen
, ce texte a immédiatement inspiré de nombreux travaux
mathématiques, notamment chez Dedekind, Gehring, Clifford, Helmholtz,
Christoffel, Lipschitz, Beltrami, et d’autres. En 1898, il a été
traduit en français par J. Hoüel.

[2 Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer
veränderlichen complexen Grössen
, Théorie générale des fonctions
d’une grandeur variable complexe.

[3« Mon travail progresse raisonnablement : au début du mois de
décembre, j’ai remis mon mémoire d’habilitation et je devais
proposer à ce moment-là trois sujets pour l’épreuve orale, parmi
lesquels la faculté devait en choisir un. J’avais préparé les
deux premiers et j’espérais que l’un d’entre eux serait
sélectionné : malheureusement, Gauss opta pour le troisième, et
je suis à présent un peu pressé par le temps, car je dois encore
le préparer. »

[4« J’ai loué pour l’été une maison avec un jardin et, grâce à cela,
ma santé ne m’a plus tourmenté. Ayant terminé, deux semaines après
Pâques, une étude dont je ne pouvais pas venir à bout, je me suis
enfin mis à ma conférence d’épreuve et je l’ai terminée vers
Pentecôte. »

[5Ce mémoire ne fut publié à titre posthume qu’en 1868, par les
soins de Dedekind.

[6« Uber die Auflösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit
zwei unbekannten Grössen »
, texte absent des
Gesammelte Werke.

[7Au printemps 1853, Gauss se plaignait dans une
lettre à Alexander von Humboldt de douleurs à la poitrine et au gosier,
d’essoufflements, de palpitations et d’insomnie. Un an plus tard, son
état s’était aggravé. Le vendredi 9 juin 1854, il apprend que Riemann
a officiellement déposé son texte, et il fixe la conférence au
lendemain.

[8Dans sa lettre du 5 février 1854 à son frère
Wilhelm (no. 65,
[neue1981a]
p. 109), Riemann exprime clairement
quelle est sa direction de recherche principale à cette époque-là :
« Ich hatte gleich nach Ablieferung meiner
Habilitationsschrift wieder meine Untersuchungen über den Zusammenhang
der Naturgesetze fortgesetzt, und mich so darin vertieft, da\ss ich
nicht davon loskommen konnte. »

[9Le programme de travail de Riemann a certainement connu des
alternances complexes que la biographie précieuse
[ded1892]
de
Dedekind (cf. aussi
[bell1939] et [tazz2002]
était naturellement
dans l’incapacité de reconstituer, puisque dans sa lettre du 5 février
1854 publiée par Neuenschwander ([neue1981a], p. 110), Riemann
confie à son frère : « Seit acht Tagen geht es mir nun
wieder besser, die Probevorlesung, die ich beim Colloquium halten soll
ist halb ausgearbeitet, und Dein Brief und der Gedanke an Dich sollen
mir ein Sporn sein, mich durch nichts wieder von dieser Arbeit
abbringen zu lassen.
 »

[10En littérature et en philosophie, la fréquentation régulière
et l’étude exégétique du corpus classique font partie
intégrante de la formation spécialisée ; tel n’est pas le cas en
mathématiques.

[11Seules
les quatre courtes pages de la seconde et dernière partie de
la Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab
IIIma Academia Parisiensi propositae

([riem1892], pp. 380—383) dévoilent quelques calculs elliptiques en
relation avec la définition de la courbure sectionnelle qui apparaît
dans l’habilitation. Ce manuscrit de 1861 ne fut pas publié car le
prix de l’Académie de Paris proposé en 1858 n’a finalement pas été
attribué à Riemann. Depuis les travaux de Lipschitz et de Christoffel,
les calculs visionnaires (et cryptiques) de Riemann peuvent être
interprétés comme associant aux quantités de courbure sectionnelle
introduites par Riemann une certaine forme bilinéaire symétrique sur
l’espace des 2-plans infinitésimaux qui est aujourd’hui appelée
tenseur de Riemann-Christoffel
et dont la connaissance recouvre tous
les invariants locaux de la métrique.

[12—publiés
à titre posthume en 1876 dans ses Gesammelte
Mathematische Werke

[13En 1840, Riemann quitte la maison familiale à Quickborn pour entrer au
lycée à Hanovre. C’est à ce moment-là que débute sa correspondance
régulière avec sa famille. Neueunschwander ([neue1981a],
p. 90) qui a transcrit des lettres inédites signale que Riemann avait
déjà en ce temps-là de la peine à mener ses compositions à
bonne fin, parce qu’il rejetait continuellement ce qu’il avait déjà
écrit.

[14Autre exemple dans le domaine de la création littéraire, analysé
par Roland Barthes ([bart2003], p. 343) : « Flaubert (1871, 50
ans) : `Comme si de rien n’était, je prends des notes pour mon
Saint Antoine
[ce sera la troisième version], que je suis bien
décidé à ne pas publier quand il sera fini, ce qui fait que
je travaille en toute liberté d’esprit
’ [Lettre à Ernest Feydeau,
8 août 1871] ; problème bien énoncé [...]. `Ne pas publier’,
sorte de figure mi-rhétorique, mi-magique, utilisée par beaucoup
d’écrivains. »

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Pour citer cet article :

Joël Merker — «Assembler l’inachevé» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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