Attracteurs des systèmes dynamiques et généricité

Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Yulij Ilyashenko Voir les commentaires

Les processus d’évolution sont omniprésents, que ce soit à
travers le mouvement des atomes, ou bien dans la dynamique des
planètes. Newton a pris conscience du fait que ces processus sont
décrits par des équations différentielles. Dans les cent
cinquante années qui ont suivi, on réalisa que la plupart des
équations différentielles ne pouvaient être résolues
explicitement. C’est alors Poincaré qui introduisit la théorie
qualitative des équations différentielles. Celle-ci s’attache
à décrire les propriétés géométriques des solutions,
sans connaitre leur forme explicite. Là encore, on s’est rendu
compte que le comportement qualitatif des solutions pouvait être
extrêmement complexe. La situation se simplifie cependant si l’on
ne considère que des équations différentielles génériques.
Du point de vue physique, ce sont les plus intéressantes.

En première approche, l’étude des systèmes dynamiques peut
être divisée en trois périodes :

  • celle de Newton : une équation différentielle est
    donnée. Résolvez la !
  • celle de Poincaré : une équation différentielle est
    donnée. Décrivez le comportement qualitatif des solutions, sans
    la résoudre !
  • celle d’Andronov : aucune équation différentielle
    n’est donnée. Décrivez les propriétés qualitatives des
    solutions !

La dernière affirmation peut paraître paradoxale. Pourtant,
elle fait référence à une branche des systèmes dynamiques
très développée aujourd’hui, qui étudie non pas un système
dynamique particulier, mais cherche plutôt à décrire le
comportement d’un système typique. Par exemple, les
équations différentielles planes ont génériquement
d’importantes propriétés communes. Ces propriétés
décrivent le comportement asymptotique de toutes les solutions.
Nous les présentons plus bas. Ainsi, afin de s’assurer que les
solutions d’une équation différentielle plane satisfont ces
propriétés, il suffit de savoir que l’équation elle-même est
générique. En dimension supérieure, on peut
également décrire certaines propriétés des équations
différentielles génériques. La situation est cependant plus
complexe.

Dans ce texte, nous discutons cette approche.

Lois d’évolutions et équations différentielles

Considérons un système physique. Par exemple, un satellite dans
le champ gravitationnel de la Terre, ou encore, le système solaire
dans son ensemble. A chaque instant, l’état du système est
décrit par un nombre fini de paramètres numériques
$x=(x_{1},... ,x_{n})$. Dans le cas d’un satellite, le système
est décrit par la position du satellite ainsi que sa vitesse, le
nombre de paramètres est donc 6. On peut penser à l’ensemble de
ces paramètres comme à un point $x$, évoluant dans un espace
$\mathbb{R}^{n}$ de grande dimension, appelé espace des
phases
. La loi d’évolution indique comment le système
évolue. Ainsi pour un satellite, la vitesse dans l’espace des
phases est décrite par la vitesse à laquelle évoluent les six
coordonnées qui décrivent la vitesse et la position du
satellite. Autrement dit, elle est déterminée par la vitesse et
l’accélération du satellite. Dans l’espace des phases,
l’equation différentielle usuelle du second ordre $F=ma$ est
transformée en une équation différentielle du premier ordre.
On note $V(x)$ la vitesse dans l’espace des phases, ainsi
l’évolution du système dans l’espace des phases satisfait
l’équation :
\[\begin{equation}\dot{x}=V(x). \; \label{equation_1}\end{equation}\]
Un théorème important d’existence et d’unicité des solutions
pour une telle équation affirme la chose suivante. Etant donné
un point $x_{0}$ dans l’espace des phases, il existe une unique
solution $x(t)$ de l’équation $\ref{equation_1}$ telle que $x(0)=x_{0}$.

Déterminisme de Laplace et approche géométrique des équations différentielles

Newton fut le premier à comprendre que les processus d’évolution
de l’Univers étaient régis par des équations
différentielles. Laplace réalisa ensuite que le théorème
d’existence et d’unicité des solutions évoqué
précédemment, pouvait être appliqué à ces processus, et en
tira des conséquences philosophiques. Il s’exprime ainsi dans son
Essai philosophique sur les probabilités (Œuvres, Gauthier
Villars, vol. II, 1, pp 6-7, 1886) :

« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaitrait toutes
les forces dont la nature est animée et la situation respective
des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste
pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la
même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et
ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et
l’avenir, comme le passé, seraient présents à ces yeux. »

Personne n’a jamais écrit l’équation différentielle dont
Laplace rêvait !

Revenons à des choses plus élémentaires, et considérons des
exemples très simples d’équations différentielles, du point de
vue géométrique. Quand le temps $t$ évolue, les solutions
$x(t)$ du système décrivent des courbes dans l’espace des phases
qui sont les orbites de l’équation différentielle
$\ref{equation_1}$. Géométriquement, trouver la solution de l’équation
passant par un point $x_0$ revient à trouver une courbe issue de
$x_0$ qui soit toujours tangente à $V$. Considérons deux
exemples élémentaires (l’espace des phases est ici le plan
$\mathbb{R}^{2}$). Si $V(x)=x$ est le champ de vecteur radial,
toutes les orbites sont des rayons issus de l’origine, à
l’exception d’une d’entre elles. L’orbite issue de $0$, est
réduite à un point. Un tel point est appelé point
d’équilibre
. Supposons maintenant que $V(x)$ est égal à $ix$
hors de l’origine (autrement dit, $V(x)$ est égal au vecteur $x$
tourné d’un angle $\frac{\pi}{2}$), et $V(0)=0$. Les orbites de ce
champ de vecteurs sont des cercles centrés à l’origine, auxquels
nous devons ajouter, là encore, l’état d’équilibre situé à
l’origine.

Poincaré a été le premier à réaliser que, à défaut de
pouvoir résoudre explicitement la plupart des équations
differentielles, on peut décrire les propriétés géometriques
de leurs orbites, uniquement à partir des propriétés du
champ $V$.

Le théorème de Poincaré-Bendixson

Pour des équations différentielles planes, la description du
comportement limite des solutions peut être faite en termes
géométriques. Considérons la partition du plan en orbites
(éventuellement réduites à un point) associées à une
équation différentielle. Faisons l’hypothèse qu’il existe un
grand disque dans le plan, dans lequel chaque orbite pénètre à
un certain instant, pour ne plus en sortir (un tel système est dit
dissipatif, dans le cas d’un système physique, cette
hypothèse correspond à une perte d’énergie). Alors, chaque
orbite a un comportement limite de l’une des formes suivantes.

  • L’orbite est un point d’équilibre.
  • L’orbite s’accumule autour d’une orbite périodique.
  • L’orbite s’accumule autour d’un polygone dont les sommets
    sont des points d’équilibre et les côtés des orbites qui les
    relient (de telles orbites sont appelées connections).
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Figure 1. Ensembles $\omega$-limite dans le plan.

Figure 1. Ensembles $\omega$-limite dans le plan

Ces différentes possibilités sont illustrées dans la
figure 1. Cette affirmation constitue le célèbre
théorème de Poincaré-Bendixson, qui a été l’un des
premiers succès de l’approche topologique des équations
différentielles. Le comportement que nous venons de décrire
n’est pas très compliqué. Cependant nous aimerions le rendre
encore plus simple. Pour cela, on peut argumenter de la manière
suivante. La troisième situation ci-dessus, qui est la plus
complexe, n’est pas générique. On peut s’attendre à ce qu’elle
n’apparaisse pas dans des systèmes d’origine physique. Supposons
par exemple qu’un système physique ne possède pas de symétrie
non-triviale, ni de loi de conservation. Alors, on peut s’attendre
à ce que différents opérateurs linéaires associés à
l’équation différentielle $\ref{equation_1}$ (tels que le champ de vecteurs
linéarisé au voisinage d’un point d’équilibre, ou encore la
différentielle de l’application de premier retour de Poincaré)
ne possèdent pas de valeurs propres nulles, ou bien de module $1$.

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Figure 2. Points singuliers génériques dans le plan

Les points singuliers d’une équation différentielle plane
générique sont de trois types, illustrés dans la
figure 2 : les points selles (a), les nœuds (b), et les
foyers (c).

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Figure 3. Connection entre deux points selle et sa destruction

Une propriété importante des champs de vecteurs génériques
dans le plan est qu’ils n’ont pas de connexion entre deux points
selle. Toute connexion de ce type peut en effet être détruite
par une perturbation arbitrairement petite. Le concept naïf de
« propriété générique » a été fondé par René Thom,
à travers ses théroèmes de transversalité. Thom fut l’un des
fondateurs de la théorie des catastrophes, dont l’objet est
d’étudier et de classifier les singularités des systèmes
génériques ainsi que leurs bifurcations. On peut en fait
formuler différents concepts de généricité. Par
exemple, on peut parler de généricité du point de vue
topologique, ou bien du point de vue métrique (c’est-à-dire du
point de vue de la théorie de la mesure). Une propriété d’un
système dynamique est topologiquement générique si
elle est vraie pour tous les systèmes qui se trouvent dans une
intersection dénombrable d’ouverts denses de l’espace de tous les
systèmes dynamiques. Une propriété est métriquement
générique
, si, pour toute famille $(f_{\alpha})$ de systèmes
dynamiques, où $\alpha \in \mathbb{R}^{p}$ est un paramètre, la
propriété considérée est vraie pour tous les paramètres
$\alpha$ en dehors d’un ensemble de mesure nulle. Cette seconde
définition peut, au prix de quelques efforts, être
généralisée à l’espace (de dimension infinie) de tous les
sytèmes dynamiques.

Nous pouvons maintenant formuler le théorème d’Andronov :

Théorème 1. Un système physique ne possédant ni de symétries, ni de loi de conservation, modèlisé par une équation différentielle plane, possède un nombre fini de régimes limites. Chaque orbite converge vers un régime limite, et chacun de ces régimes limite est ou bien un point critique, ou bien une orbite périodique.

Au milieu du XXe siècle, quelques experts ont rêvé de
généraliser ce résultat en dimensions supérieures. A la fin
des années cinquante, Smale a publié une conjecture allant dans
ce sens, en décrivant précisement ce que devrait être un
système dynamique générique sur une variété compacte. Les
systèmes qu’il a alors décrit forment une classe importante de
systèmes appelés maintenant systèmes de Morse-Smale.
Une de leurs caractéristiques est qu’ils ne possèdent qu’un
nombre fini d’orbites périodiques. Cependant, contrairement a ce
qu’affirmait la conjecture de Smale, ils ne sont pas génériques.
Peu après la publication de l’article de Smale, quelques experts
de la génération qui le précédait, lui indiquèrent que,
dans des travaux de Cartwrite, Littlewood et Levinson, étaient
construits des systèmes dynamiques ayant une infinité de points
périodiques, et cette propriété persistait après une petite
perturbation.

Depuis cette époque, l’une des questions majeures de la théorie
des systèmes dynamiques a été de savoir quelles sont les
propriétés des systèmes dynamiques génériques. Un certain
nombres de résultats allant dans cette direction ont été
obtenu, mais, de nombreux problèmes restent ouverts en toute
généralité. Nous présentons un cas particulier de l’un de
ces problèmes à la fin de l’article.

Plutôt que de lire les travaux de ses prédécesseurs, qui
étaient longs et fastidieux, Smale a rapidement construit un
contre-exemple à sa propre conjecture, pour comprendre comment un
système dynamique pouvait posséder, de manière persistante,
une quantité infinie dénombrable d’orbites périodiques.
L’histoire dit que c’est en se promenant le long de la plage de
Copacabana, à Rio de Janeiro, qu’il a inventé l’exemple suivant,
appelé maintenant le fer à cheval de Smale.

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Figure 4. Le fer à cheval de Smale.

Il était bien compris depuis l’époque de Poincaré que
l’étude des équations différentielles, et l’étude des
itérations d’un difféomorphisme étaient deux branches de la
même théorie. Ainsi, l’exemple de Smale est obtenu en considérant un difféomorphisme, en dimension $2$. L’application
$f$ est la composition de trois applications que nous décrivons
maintenant, et qui sont illustrées dans la figure 4.
L’application $f_{1}$ contracte le rectangle $D$ dans la direction
horizontale et l’étire dans la direction verticale. Puis
l’application $f_{2}$ plie le rectangle ainsi obtenu pour former un
fer à cheval. Enfin, l’application $f_{3}$ déplace le fer à
cheval afin qu’il intersecte le rectangle initial $D$ comme
indiqué sur la figure initiale.

Considérons une version simplifée de l’application
précédente, que nous appelerons encore fer à cheval de Smale.
Cette nouvelle application est illustrée dans la
figure 5.

Considérons un carré, partitionné en 5 rectangles horizontaux
de largeurs égales. Notons $D_{0}$ et $D_{1}$ respectivement le
second et le quatrième rectangle. Nous pouvons également
partitionner le carré en cinq rectangles verticaux. On note
$D_{0}^{'}$ et $D_{1}^{'}$ respectivement, le second et le
quatrième rectangle vertical. Enfin, on note $D=D_{0}\cup D_{1}$
et $D^{'}=D_{0}^{'}\cup D_{1}^{'}$. Considérons alors
l’application $f : D \to D^{'}$, qui contracte $D_{j}$ cinq fois
dans la direction horizontale, le dilate cinq fois dans la direction
verticale, puis le translate sur le rectangle $D_{j}^{'}$ ($j=0,1$).
L’application $f$ est affine par morceaux, on peut écrire une
formule explicite qui la décrit en restriction à chacun des
rectangles $D_{0}$ et $D_{1}$. De plus, l’application $f$ peut
être prolongée en un difféomorphisme de la sphère.

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Figure 5. Fer à cheval de Smale simplifié.

Si, pour un point $x$ de $D$, toues les itérations (positives et
négatives) de $f$ sont définies, nous dirons que $x$ possède
une orbite complète pour $f$. On note $\Lambda$
l’ensemble des points de $D$ qui possèdent une orbite complète
pour la transformation $f$. Il n’est pas difficile de voir que
$\Lambda$ est le produit cartésien de deux ensembles de Cantor. Si
$x$ est un point de $\Lambda$, chacun des points $f^{n}(x)$ (où
$n$ décrit $\mathbb{Z}$) est dans l’un des deux rectangles $D_{0}$
ou $D_{1}$. Si $f^{n}(x)$ est dans $D_{j}$ (où $j$ est égal à
$0$ ou $1$), on pose $\omega_{n}(x)=j$. On associe ainsi une suite
$\omega(x)=(\omega_{n}(x))_{n\in \mathbb{Z}}$ formée de $0$ et de
$1$ à chaque point de $\Lambda$. Il s’avère que toute suite
formée de $0$ et de $1$ est la suite associée à un et un seul
point de $\Lambda$. Puisque les suites périodiques sont en nombre
infini, l’application $f$ possède un nombre infini de points
périodiques.

Une analyse élémentaire de l’application décrite dans
l’encadré précédent, montre le fait suivant : si deux points
$x$ et $y$ de $\Lambda$ se trouvent à une distance l’un de l’autre
inférieure à $5^{-n}$, leurs $n$ premières images par $f$ (ou
$f^{-1}$) se trouvent dans le même rectangle $D_{j}$. Autrement
dit, dans les suites $\omega (x)$ et $\omega (y)$ correspondantes,
les termes d’indice $k$ compris entre $-n$ et $n$ coïncident.
Par contre, après ces $n$ premières itérations, leurs images
peuvent varier de manière aléatoire, et leur distance est alors
proche de $1$. On résume cette propriété en disant que le
système est très sensible aux conditions initiales.

Différents types d’attracteurs : coïncident-ils génériquement ?

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Figure 6. Le Solénoïde de Smale-Williams.

Remarquons que, dans l’exemple précédent, « presque tout » point
du carré ne possède pas d’orbite positive complète pour la
transformation considérée. On peut citer un autre exemple, dû
à Smale et Williams, qui n’a pas ce défaut. Il est illustré
dans la figure 6. C’est une application du tore solide
$T=D^{2}\times S^{1}$ dans lui-même, ayant les propriétés
suivantes.

  • Tous les points du tore solide ont une orbite positive
    complète.
  • Il existe un fermé invariant $\Lambda$ appelé
    solénoïde, à l’intérieur du tore solide, vers lequel toutes
    les orbites sont attirées.
  • La dynamique à l’intérieur du solénoïde est
    semblable à celle du fer à cheval, en particulier elle est
    très sensible aux conditions initilaes et possède une infinité
    d’orbites périodiques.

De plus ces propriétés persistent après de petites
perturbations. Le solénoïde de Smale-Williams fournit un
exemple d’attracteur étrange, dont le comportement est
très différent de celui d’un point fixe attractif ou d’une
orbite périodique attractive. Tout système dynamique dissipatif
possède un ensemble attractif appelé attracteur maximal
vers lequel toutes les orbites convergent. Considérons un
difféomorphisme $f$ qui envoie un compact $B$ dans lui-même,
mais tel que $f(B)\not= B$. Dans ce cas, l’attracteur maximal
$A_{max}$ pour le système dynamique $f : B\to B$ est :
\[A_{max}=\cap_{n=0}^{\infty}f^{n}(B).\]
Mais en pratique, cet ensemble est trop gros. Lors d’une simulation
numérique, un ensemble plus petit que l’attracteur maximal va
jouer un rôle. C’est l’attracteur statistique.

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Figure 7. Non-coïncidence des attracteurs maximal et statistique.

Un exemple est representé sur la figure 7. Dans cet
exemple l’attracteur maximal est le « huit » et l’attracteur
statistique est formé d’un point selle. Mais cet exemple n’est pas
générique (il possède deux connections entre points selles,
que l’on peut faire disparaître par une petite perturbation).
Ainsi, on peut espérer que, génériquement, les attracteurs
maximal et statistique coïncident. Cette conjecture reste
ouverte aujourd’hui. Une manière plus précise de la formuler est
la suivante.

Est-il vrai que, pour un système dynamique générique $f$,
l’attracteur statistique $A$ est égal à l’attracteur maximal de
la restriction de $f$ à un voisinage de $A$ ?

Références

  • Sur les sytèmes dynamiques en dimension 2 :

A.Andronov, A.Vitt, S.Khaikin, Theory of
oscillations
, Moscow 1959.

  • Sur les attracteurs étranges et la dépendance aux conditions initiales :

D.Ruelle, F.Takens, On the nature of turbulence,
Commun. Math. Phys., 1971, vol.20, pages 167-192.

  • Sur les systèmes dynamiques génériques et la théorie des catastrophes :

A.Katok, B.Hasselblatt, Introduction to the modern
theory of dynamical systems,
Cambridge University Press, 1994.

V.Arnold, Catastrophe Theory, Springer
Encyclopaedia in Math., vol.5, 1994.

J.Palis, A global perspective for non-conservative
dynamics,
Ann. I.H.Poincare — AN, 2005, vol.22, pages 485-507.

  • Sur les différentes notions d’attracteurs :

J.Milnor, On the concept of attractor, Commun.
Math. Phys., 1985, vol.99, no.2, pages 177-196.

A.Gorodetski, Yu.Ilyashenko, Minimal and strange
attractors,
International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996,
vol.6, no.6, pages 1177-1183.

Post-scriptum :

Je voudrais remercier Pierre Py pour une traduction excellente de la
version anglaise de ce texte, Victor Kleptsyn pour la réalisation
des figures et Etienne Ghys qui m’a suggéré d’écrire cet
article.

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Pour citer cet article :

Yulij Ilyashenko — «Attracteurs des systèmes dynamiques et généricité» — Images des Mathématiques, CNRS, 2006

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