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Autoportrait de racine de 2

Piste verte Le 8 novembre 2010 - Ecrit par Michèle Audin Voir les commentaires (10)
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Mon métier consiste à être extraite et exhibée. À être extraite avec le plus de décimales possible.

Préliminaire

L’autoportrait d’un descendeur à ski qui ouvre le livre les Athlètes dans leur tête de Paul Fournel commence ainsi

Mon métier consiste à descendre du haut de la montagne jusqu’en bas. À descendre le plus vite possible. C’est un métier d’homme. D’abord parce que lorsqu’il est en haut l’homme a envie de descendre en bas le plus vite possible, ensuite parce que lorsqu’il y a plusieurs hommes en haut ils veulent tous descendre plus vite les uns que les autres.

Un métier humain.

Je suis descendeur.

Les écrivains de l’Oulipo se sont saisis de ce texte et en ont fait des variantes, par construction analogique et parodique, autoportrait du séducteur, du buveur, de l’écrivain... Ces textes ont été regroupés récemment dans le petit livre C’est un métier d’homme, publié par les éditions Mille et une nuits. J’y ai contribué, notamment, par un autoportrait de la toupie et par l’autoportrait de $\sqrt{2}$ que l’on pourra lire ci-dessous.

Pourquoi $\sqrt{2}$ ?

C’est que $\sqrt{2}$ est à la mode cette année. Dans ce billet, Aurélien Alvarez vous a parlé du livre Rationnel mon Q dont $\sqrt{2}$ est l’héroïne. Je vais vous avouer une chose : depuis que ce livre est paru, je suis extrêmement jalouse.

Tout simplement parce que c’est le genre de choses que j’aurais aimé écrire [1]. Aussi parce que je ne suis pas certaine (c’est un euphémisme) que j’aurais fait aussi bien que la désopilante Version latine, ou que le pastiche de James Joyce que l’on y trouve.

J’ai fait un peu de publicité à Rationnel mon Q, par exemple j’en ai lu des extraits au cours d’une lecture de l’Oulipo à la BNF [2] mais j’en suis restée frustrée... C’est pourquoi j’ai écrit cet autoportrait [3] : je l’ai ainsi prouvé, moi aussi je suis capable de parler de $\sqrt{2}$.

Une page de publicité

Ainsi on trouvera un peu de mathématiques dans Un métier d’homme, de l’Oulipo. On trouvera tout (tout, le sérieux, et aussi le moins sérieux) sur $\sqrt{2}$ (et pas mal de littérature) dans Rationnel mon Q, de Ludmila Duchêne et Agnès Leblanc. Ici le film réalisé par Universcience sur ce livre.

Achetez les, lisez les, offrez les !

Voici donc l’autoportrait...

d’un objet mathématique, le nombre $\sqrt{2}$, nombre dont le carré est $2$ [4], qui ne peut pas s’écrire comme une fraction [5], mais qui n’est pas transcendant parce qu’il est solution d’une équation, l’équation $x^2=2$. On dit qu’il est algébrique [6].

Autoportrait de $\sqrt{2}$

Mon métier consiste à être extraite et exhibée. À être extraite avec le plus de décimales possible. C’est un métier de nombre. D’abord parce que lorsqu’il aborde les mathématiciennes, le nombre a envie de leur montrer ses décimales, ensuite parce que, lorsqu’il y a plusieurs nombres, ils veulent tous faire voir plus de décimales les uns que les autres.

Un métier irrationnel.

Je suis la racine carrée de $2$.

Il y a eu 1, 2, beaucoup, puis il y a eu 3 et 4 et beaucoup d’autres et, maintenant, il y a moi. Je suis le premier nombre dont on a démontré l’irrationalité, et, à la prochaine occasion, je serai déclaré le plus beau des nombres irrationnels.

Je suis le nombre le plus célèbre de la cohorte, celui auquel les plus grands se sont intéressés, Euclide et Théétète, Pythagore et même Platon, et mon état consiste à être prouvé irrationnel. Tous les mathématiciens savent démontrer mon irrationalité.

Être un nombre irrationnel, c’est d’abord être un nombre autrement ; de façon à semer l’inquiétude et le doute.

Faire peur. Arriver sur la scène de telle manière que l’on vous croie innocent, un trait tout simple dans un carré, jusqu’à ce que l’on s’inquiète parce que vous ne pouvez pas exister, 1, 2, oui, 1,5 même, mais pas vous, jusqu’à ce que des infinités entières de nombres irrationnels viennent vous copier.

Dans une vie de nombre, il n’y a pas de tiers état, si vous n’êtes pas une fraction, alors vous êtes irrationnel, un point c’est tout.

Les fractions sont arrivées pour diviser les nombres entiers et, à peine quelques siècles plus tard, tous les mathématiciens s’en servaient.

Maintenant il y a moi.

Être un nombre irrationnel est un état qui exige un don absolu de soi-même et une démonstration rigoureuse. Je suis un nombre irrationnel à temps plein. Je le suis par considération des valuations $2$-adiques de mon numérateur et de mon dénominateur, ce qui fait sourire les mathématiciens débutants. Je le suis par l’absurde, si j’étais une fraction irréductible, mon numérateur serait pair et mon dénominateur aussi, ce qui casse la tête à mes amateurs.

Prenez deux nombres à égalité de carrés, écrivez les à côté l’un de l’autre, c’est toujours moi qu’on appelle racine de 2, parce que c’est moi qui suis le plus positif.

Les constructions à la règle et au compas, un carré double d’un autre, je les subis mille fois par semaine, les feuilles de papier, chacune la moitié de la surface de la précédente et pourtant exactement de la même forme, je les plie chaque soir avant d’aller me coucher de bonne heure. Je sais mes approximations par réduites successives par cœur et, lorsque je ferme les yeux, je vois mes décimales passer au ralenti.

Je me prépare aussi à affronter ces arguments mous et insipides que certains mathématiciens utilisent pour démontrer à la fois mon irrationalité et leur cuistrerie, m’imposant des démonstrations de quatre pages alors que quatre lignes ou une figure suffisent.

Tout compte dans votre carrière.

Un jour, l’essentiel devient l’infinitude de votre développement décimal. Vous avez peaufiné l’argument et vous avez failli vous planter pour avoir négligé de signaler l’absence de périodicité dans ce développement. Vous avez affirmé péremptoirement que l’infinitude suffisait, et vous avez perdu la face en montrant seulement que vous n’étiez pas décimal.

Quand je dors, je suis irrationnel, quand je pense que mon carré est égal à 2, je suis irrationnel. Je regarde converger vers moi des kyrielles de méthodes de Newton. La tête de mon 2 se courbe sous la toise du signe racine, je sens dans tout mon être l’irrationalité de cette position.

Lorsque dans la salle ronde du Palais de la découverte, on parle d’irrationalité, c’est moi que l’on mentionne en premier, on libère ainsi des tonnes de décimales. Après, les questions portent sur le clinquant, le soi-disant nombre d’or qui sert à compter les lapines, les regards s’égarent vers les décimales alignées sur les murs, et il ne reste qu’un premier nombre irrationnel, qui ne sert qu’à introduire les autres.

C’est la règle.

Et puis, il y a le moment qui arrive forcément dans une vie, le seul moment de vrai repos, de repos absolu. Le repos du premier nombre irrationnel.

Vous avez été présenté avec rigueur, comme nombre positif dont le carré est 2, vous avez été prouvé non décimal, non rationnel, on a rappelé l’anthyphérèse, on a évoqué la géométrie, on a appelé à votre rescousse les vieux messieurs barbus, on a invoqué le toujours jeune et glabre Évariste Galois, vous considérant pour donner un exemple, le premier exemple, de groupe de Galois, et vous vous êtes satisfait d’être encore une fois le premier, commettant ainsi la faute stupide (qui n’est pas d’inattention puisque les racines ignorent elles aussi l’inattention) de négliger qu’on n’est le premier que s’il y a un deuxième et toute une ribambelle de concurrents, après lesquels on peut vous opposer un nombre transcendant, un misérable nombre dont toutes les décimales à peu de chose près sont nulles, puis beaucoup de nombres transcendants, puis on ne parlera plus de vos décimales que pour expliquer à quel point celles de $\pi$ sont plus inattendues, plus riches, plus fantaisistes. Et là, c’est le vrai repos, le repos immense. Vous n’êtes pas transcendant, et pis, votre développement en fraction continue est périodique. Plus rien n’a d’importance, vous n’êtes plus la vedette des nombres, votre extension est quadratique (sans parler de celle de vos muscles, qui se relâche), vous savez que vous allez devenir le premier, mais un vulgaire, nombre algébrique.

Post-scriptum :

Merci aux relecteurs d’Images des mathématiques et plus particulièrement à Thierry Barbot, François Brunault, Barbara Schapira et Christiane Huyghe pour leur aide avant la publication de cet article.

Article édité par Michèle Audin

Notes

[1] La même impression m’est déjà arrivée il y a quelques années, à un autre niveau, avec le Petit guide de calcul différentiel de François Rouvière, le livre de calcul différentiel que j’aurais aimé écrire.

[2] Au point que certains des auditeurs ont imaginé que j’en étais l’auteur. Mais hélas, trois fois hélas, il n’en est rien, je le jure.

[3] Braquée sur cette racine, j’ai aussi commis de courts textes pastichant les « Joconde » d’Hervé Le Tellier. En voici un :

Si j’enlevais le haut et si j’arrangeais les deux pans du fichu de façon à ce qu’ils forment deux côtés de longueur égale à 1 d’un triangle rectangle isocèle, quelle serait la profondeur de mon décolleté, se demande Mona posant, et l’irrationalité de cette pensée la fait sourire discrètement.

[4] Le tout premier nombre irrationnel connu, obtenu comme la longueur des diagonales d’un carré de côté $1$.

[5] Voici une démonstration : si l’on pouvait écrire $\sqrt{2}=p/q$, une fraction irréductible, qu’on ne peut pas simplifier, alors, en élevant au carré, on aurait
\[2=p^2/q^2,\]
donc $p^2=2q^2$, donc $p$ serait un nombre pair, donc $p^2$ serait divisible par 4, donc $q$ serait pair,
ce qui est contradictoire avec le fait que la fraction était irréductible. C’est une démonstration « par l’absurde » !

[6] Les nombres algébriques sont ceux qui sont des solutions d’une équation comme $x^2=2$, et les nombres transcendants sont les autres.

Dans le texte, il est question d’une feuille de papier que l’on plie. Il s’agit d’une feuille au format A4, un format ($21\times29{,}7$) tel que la feuille pliée en deux (format A5) a exactement la même forme, comme ceci a déjà été expliqué sur ce site dans cet article. Le rapport longueur/largeur est égal à $\sqrt{2}$.

La dernière partie du texte fait allusion

d’une part à l’existence de nombres transcendants construits grâce à leur développement décimal. C’est le cas du nombre
\[1{,}110001000000000000000001000\ldots= 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000000}+\cdots+\frac{1}{10^{n!}}+\cdots\]
construit par Liouville au dix-neuvième siècle, dont toutes les décimales sont nulles sauf celles aux rangs $n!$ (ce qui fait beaucoup de $0$, de plus en plus de $0$),

d’autre part au fait que
\[\sqrt{2}=1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\ddots}}}}},\]
(c’est ce que l’on appelle une fraction continue). Tous les nombres qui apparaissent (sauf le premier) sont des 2. On dit donc que ce développement est périodique. On peut démontrer que c’est toujours le cas pour les nombres qui sont solution d’une équation du second degré (comme $x^2=2$ pour $\sqrt{2}$).

François Brunault me suggère de signaler qu’il reste (heureusement ! ajoute-t-il, et je suis bien d’accord) des questions irrésolues à propos de $\sqrt{2}$. Par exemple, on ne sait pas si son développement décimal est très irrégulier (il y a des questions plus précises mais je n’entrerai pas dans plus de détails pour cet article).

La question ayant été soulevée pendant la relecture, je précise qu’il est aussi question dans ce texte de quelques mathématiciens et philosophes grecs ayant participé à la naissance de $\sqrt{2}$, et notamment de Théétète, le jeune mathématicien contemporain de Platon, qui a donné son nom à un Dialogue de ce philosophe, dans lequel il discute avec Socrate de ce nombre, $\sqrt{2}$, justement. Il y a un fort beau « rêve de Théétète » dans Rationnel mon Q.

Commentaire sur l'article

Autoportrait de racine de 2

le 8 novembre 2010 à 08:15, par Julien Olivier

Bon je n’ai effectué qu’une recherche extrêmement rapide sur wikipédia mais je n’ai pas compris ce qu’était l’anthyphérèse ?
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Autoportrait de racine de 2

le 8 novembre 2010 à 08:24, par Michèle Audin

Moi non plus, en réalité. Je pense qu’il s’agit d’une « parole excluante » pour « descente infinie ». Je l’ai employé ici par dérision. Rien de mieux pour vous en expliquer l’emploi que cette citation

si ce mot sonne comme un gargarisme à l’oreille du lecteur qui l’aura prononcé, lu à haute voix, qu’il sache que les authentiques mathématiciens, espèce à laquelle nous nous flattons d’appartenir, l’utilisent surtout à cet escient (le gargarisme)

extraite du livre Rationnel mon Q.
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Autoportrait de racine de 2

le 8 novembre 2010 à 10:42, par Gouanelle

Bonjour et merci Madame d’avoir déterré cette « racine carrée de deux » ; de l’avoir arrachée à « son repos absolu ».

Votre texte la fait fleurir. Refleurir même, puisque le mot « anthyphérèse » pourrait suggérer que sa fleur a été cueillie. Utilisée en phytothérapie pour les gargarismes ??

Claude Gouanelle
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Autoportrait de racine de 2

le 8 novembre 2010 à 14:01, par François Brunault

Ne connaissant pas non plus la signification du mot « anthyphérèse », j’ai trouvé les informations suivantes dans le livre Arithmétique : cours et exercices sous la direction d’André Warusfel (Vuibert, 2002) :

« Le mot anthypharèse, ou anthyphérèse, signifie soustractions successives alternées (G. Kayas) et vient du verbe grec ανθυφαιρεω (antuphaireo) qui signifie enlever l’un après l’autre. L’étymologie nous apprend d’ailleurs qu’il s’agit très exactement d’une succession de soustractions (mot français construit, lui aussi, sur la même idée : enlever par dessous). À la différence de notre moderne algorithme, où l’on utilise des divisions euclidiennes, il s’agit effectivement de soustractions itérées. »

L’anthyphérèse pourrait donc désigner l’opération qui est à la base de l’algorithme d’Euclide permettant de calculer le p.g.c.d. de deux entiers. Le livre cité ci-dessus contient un éclairage historique très intéressant sur cet algorithme. D’ailleurs, le chapitre en question est téléchargeable gratuitement sur le site de l’éditeur : http://www.vuibert.com/livre10279.html
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Descente infinie ({alias} anthyphérèse)

le 8 novembre 2010 à 21:32, par Michèle Audin

Chers lecteurs,

Je pensais vraiment rester au niveau de la plaisanterie, mais visiblement, vous souhaitez aller au-delà du gargarisme. Alors soyons sérieux, voici une démonstration « par anthyphérèse » de l’irrationalité de $\sqrt{2}$. Je suggère que vous fassiez la figure au fur et à mesure.

Je dessine un triangle rectangle isocèle $ABC$ dont les côtés de l’angle droit (l’angle en $A$) mesurent 1. L’hypoténuse mesure donc $\sqrt{2}$ (par le théorème de Pythagore). Je suppose que $\sqrt{2}=p/q$. Je sais que $p>q$ (parce que $\sqrt{2}>1$). Je multiplie tout par $q$. J’obtiens un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit mesurent $q$ et l’hypoténuse $p$. Je plante la pointe de mon compas en $B$ et je trace un arc de cercle de rayon $q$. Il coupe l’hypoténuse en un point $A'$. La perpendiculaire à l’hypoténuse passant par $A'$ coupe le côté $AC$ en un point $B'$.

Le triangle $A'B'C$ est rectangle isocèle, ses côtés de l’angle droit mesurent $p-qp>
Ainsi, j’ai construit un triangle rectangle isocèle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et qui est strictement plus petit que le précédent.

On peut recommencer... mais ce processus devrait avoir une fin : les nombres entiers de plus en plus petits vont finir par s’annuler. C’est un exemple simple de « descente infinie » (et une démonstration par anthyphérèse, pour ceux qui aiment les mots savants).

Michèle Audin

PS. J’en profite pour remercier tous ceux qui m’ont envoyé (de façon privée) des démonstrations de l’irrationalité de $\sqrt{n}$ lorsque $n$ n’est pas un carré. S’il n’y avait pas déjà une anthologie de ces preuves, j’en ferais un livre !
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Autoportrait de racine de 2

le 12 novembre 2010 à 11:00, par Ilies Zidane

Très joli « auto »portrait. Ceci étant dit, racine de 2 a un frère jumeau algébriquement indiscernable
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Anthyphérèse, d’anthyphairesis ou soustractions réciproques

le 14 novembre 2010 à 15:45, par marc

Bonjour,
Pour parler d’« anthyphérèse », d’« anthyphairesis » ou de « soustractions réciproques », il est possible de faire un renvoi aux pages 98 à 102 de « L’invention du fils de Léoprepes » (Circé 1993) de Jacques Roubaud (de l’Oulipo).
On ne manquera pas d’y voir aussi la façon de découper un rectangles en carrés égaux consécutifs, et finalement de parler de fractions continues...
Il est aussi à noter que cette méthode étant particulièrement utilisés chez les grecs, l’importance de certains nombres à cette époques était renforcée par l’écriture obtenue en utilisant cette méthode de calcul (le nombre d’or donnant par exemple 1111111111...).
Il est encore à noter que le nombre, ou le logos d’un nombre était avant tout considéré comme un rapport. Une fraction était bien plus un rapport entre deux nombres qu’un nombre. On pourrait cette fois renvoyer à l’interprétation de Jean Benabou des fractions comme une forme de rectangles (La fraction a/b correspondant au rectangle de coté a et b. Deux formes de rectangles appartenant à la même classe quand ils ont la même (direction de) diagonale (entre autre a/b et 2a/2b définissent deux rectangles de même (direction de) diagonale).
Bonne journée,
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L’anthyphérèse, et après...

le 14 novembre 2010 à 16:05, par Michèle Audin

Chers lecteurs

Quel bonheur de lire tous vos messages !

Merci à Ilies pour son (habituel, oui, Ilies, je suis sensible à votre fidélité et je l’apprécie) gentil message, oui, $-\sqrt{2}$ a les mêmes propriétés algébriques que $\sqrt{2}$.

Mais... excusez-moi de le dire, je trouve que ce forum de discussion est un peu le monde à l’envers !!!

Car ici c’est l’auteur qui essaie d’exclure (voir de ridiculiser) les paroles excluantes, de se mettre au niveau le plus élémentaire possible, pour être lisible par tous, et ce sont les lecteurs qui font assaut de science !

Je pense (j’espère) que nous avons épuisé le sujet de l’anthyphérèse (à moins que nous soyons lancés dans une tentative de le régler par... « anthyphérèse », car alors la descente aux enfers des forums [1] qui nous menacerait serait infinie).

[1] oui, je sais, le pluriel d’un forus, c’est des fori...
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Autoportrait de racine de 2, qui n’est pas rationnel

le 19 novembre 2010 à 22:59, par a.leblanc

Chère Michèle Audin,

On m’a signalé votre texte. Merci beaucoup
pour la publicité que vous y faites pour le livre
« Rationnel mon Q », que j’ai écrit en collaboration
avec Ludmila Duchêne. Venant de vous, cette
citation nous va droit au coeur.

Masi revenons à cet autoportait. Voilà un texte que j’aime
beaucoup pour sa vivacité, son invention, le vertige que
procure l’infinitude des décimales de racine de deux, bref,
« Tout simplement parce que c’est le genre de choses que j’aurais aimé écrire. »

Bien à vous,

Agnès Leblanc.
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Autoportrait de racine de 2

le 14 janvier 2011 à 00:07, par Clémence

Très joli texte ! Qui m’a permis de découvrir (entre autre) l’anthyphérèse...
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L'auteur

Michèle Audin

Mathématicienne et oulipienne

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