Autorretrato de la raíz de 2

Piste verte Le 8 novembre 2010  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 25 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Autoportrait de racine de 2 Voir les commentaires
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Mi trabajo consiste en ser extraída y exhibida. En ser extraída con la mayor cantidad de decimales posible.

Preliminar

El autorretrato de un esquiador que abre el libro Les Athlètes dans leur tête de Paul Fournel comienza así


Mi trabajo consiste en descender desde lo alto de la montaña hasta abajo. Descender lo más rápido posible. Es un trabajo de hombres. Primero, porque cuando está arriba, el hombre tiene ganas de descender lo más rápido posible ; luego, porque cuando hay muchos hombres arriba, todos quieren descender más rápido que los demás..

Un trabajo humano.

Yo soy esquiador de descenso.

Los escritores del Oulipo tomaron este texto y han hecho variantes, por construcción de analogía y parodia, autorretrato del seductor, del bebedor, del escritor... Esos textos han sido reagrupados recientemente en el pequeño libro C’est un métier d’homme, publicado por las ediciones Mille et une nuits. Yo contribuí ahí, especialmente con el autorretrato del trompo y el autorretrato de $\sqrt{2}$, que se puede leer acá abajo.

¿Por qué $\sqrt{2}$ ?

Es porque $\sqrt{2}$ está de moda este año. En esta nota, Aurélien Alvarez les habló del libro Rationnel mon Q en el cual $\sqrt{2}$ es la heroína. Voy a advertirles algo : desde que ese libro fue publicado, estoy extremadamente celosa, simplemente, porque es el tipo de cosas que yo habría adorado escribir [1]. También porque no estoy cierta (es un eufemismo) que lo habría hecho tan bien como la divertidísima Version latine, o como el pastiche de James Joyce que ahí se encuentra.

Hice un poco de publicidad a Rationnel mon Q. Por ejemplo, leí extractos en el transcurso de un encuentro del Oulipo en la BNF [2] pero me quedé frustrada... Es por eso que escribí este autorretrato [3] : yo lo probé así, yo también soy capaz de hablar de $\sqrt{2}$.

Una página de publicidad

Se encontrará un poco de matemáticas en Un métier d’homme, del Oulipo. Se encontrará todo (todo, lo serio y también lo menos serio) en $\sqrt{2}$ (y bastante literatura) en Rationnel mon Q, de Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc. Aquí está la película realizada por Universcience acerca de este libro.

¡Cómprelos, léalos, ofrézcalos !

Aquí está entonces el autorretrato...

de un objeto matemático, el número $\sqrt{2}$, número cuyo cuadrado es $2$ [4], que no puede escribirse como una fracción [5].

Autorretrato de $\sqrt{2}$

Mi trabajo consiste en ser extraído y exhibido. En ser extraído con la mayor cantidad de decimales posible. Es un trabajo de número. Primero porque cuando aborda a los matemáticos, el número tiene ganas de mostrar sus decimales ; luego porque -cuando hay muchos números- todos quieren hacer ver la mayor cantidad de decimales que los demás.

Un trabajo irracional.

Yo soy la raíz cuadrada de $2$.

Ha habido 1, 2, muchos. Luego ha habido 3, 4 y muchos otros. Y ahora estoy yo. Yo soy el primer número del cual se demostró la irracionalidad, y en la próxima ocasión, seré declarado el más hermoso de los números irracionales.

Yo soy el número más famoso de la cohorte, aquel en el cual los más grandes se han interesado. Euclides y Teeteto, Pitágoras e incluso Platón, y mi estado consiste en ser probado como irracional. Todos los matemáticos saben demostrar mi irracionalidad.

Ser un número irracional es, primero, ser un número distinto, de manera de sembrar la inquietud y la duda.

Dar miedo. Llegar a la escena de manera tal que se le crea inocente, un simple trazo en un cuadrado, hasta que surge la inquietud, porque usted no puede existir. 1, 2, sí. 1,5 también. Pero usted no, hasta que las infinidades enteras de números irracionales vengan a copiarle.

En una vida de número, no hay tercer estado ; si usted no es una fracción, entonces es irracional, un punto, es todo.

Las fracciones llegaron para dividir a los números naturales y, apenas algunos siglos después, todos los matemáticos se sirvieron de ellas.

Ahora estoy yo.

Ser un número irracional es un estado que exige una entrega absoluta de sí mismo y una demostración rigurosa. Soy un número irracional a tiempo completo. Lo soy por consideración de las valuaciones $2$-ádicas de mi numerador y de mi denominador, lo que hace sonreír a los matemáticos debutantes. Lo soy por medio de la contradicción : si fuera una fracción irreductible, mi numerador sería par y mi denominador también, lo que quiebra la cabeza a mis aficionados.

Tome dos números con igualdad de cuadrados, escríbalos uno al lado del otro, siempre soy yo a quien llaman raíz de 2, porque soy yo el que es más positivo.

Las construcciones con regla y compás, un cuadrado doble de otro, yo las logro mil veces por semana ; las hojas de papel, cada una la mitad de la superficie de la anterior, y sin embargo, exactamente de la misma forma, yo las pliego cada noche antes de acostarme temprano. Yo sé de memoria mis aproximaciones por reducciones sucesivas y, cuando cierro los ojos, veo mis decimales pasar lentamente.

Yo me preparo también para enfrentar esos argumentos flojos e insípidos que algunos matemáticos utilizan para demostrar a la vez mi irracionalidad y sus deseos de figurar, imponiéndome demostraciones de cuatro páginas cuando bastaría con cuatro líneas o una figura.

Todo cuenta en su carrera.

Un día, lo esencial se convierte en la infinitud de su desarrollo decimal. Usted ha pulido el argumento y casi se ha equivocado por haber omitido señalar la ausencia de periodicidad en ese desarrollo. Usted afirmó en forma perentoria que la infinitud bastaba, y perdió credibilidad solamente al mostrar que usted no era decimal.

Cuando yo duermo, soy irracional ; cuando pienso que mi cuadrado es igual a 2, soy irracional. Veo converger hacia mí un rosario de métodos de Newton. La cabeza de mi 2 se curva bajo la marca del signo raíz, siento en todo mi ser la irracionalidad de esta posición.

Cuando en el salón circular del Palais de la Découverte se habla de irracionalidad, es a mí a quien se menciona primero, y se liberan así toneladas de decimales. Luego, las preguntas se centran en el pedregal, el así llamado número de oro que sirve para contar los conejos, las miradas se desvían hacia los decimales alineados en las paredes y no queda sino un primer número irracional, que sirve solo para presentar a los otros.

Es la regla.

Y luego, está el momento que forzosamente llega en una vida, el único momento de verdadero reposo, de reposo absoluto. El reposo del primer número irracional.

Usted ha sido presentado con rigor como número positivo cuyo cuadrado es 2. Usted ha sido probado como no decimal, no racional, se ha recordado la antiféresis, se ha mencionado la geometría, se ha llamado en su rescate a los viejos señores barbudos, se ha invocado al siempre joven y lampiño Évariste Galois, considerándole a usted para dar un ejemplo, el primer ejemplo de grupo de Galois, y usted se ha sentido satisfecho por ser una vez más el primero, cometiendo así la estúpida falta (que no es por falta de atención ya que las raíces ignoran también la falta de atención) de obviar que uno no es el primero si es que no hay un segundo y toda una retahíla de competidores, después de los cuales se puede poner enfrente suyo un número trascendente, un miserable número cuyos decimales casi todos son nulos, luego muchos números trascendentes, luego no se hablará más de sus decimales sino para explicar hasta qué punto aquéllos de $\pi$ son más inesperados, más ricos, más fantasiosos. Y entonces, es el verdadero reposo, el reposo inmenso. Usted no es trascendente, y peor, su desarrollo en fraccion continua es periódico. Nada más tiene importancia, usted no es más la estrella de los números, su extensión es cuadrática (sin hablar de aquella de sus músculos, que se aflojan), usted sabe que va a convertirse en el primer, pero vulgar, número algebraico.

Post-scriptum :

Gracias a los relectores de Paisajes Matemáticos y muy especialmente a Thierry Barbot, François Brunault, Barbara Schapira y Christiane Huyghe por su ayuda antes de la publicación de este artículo.

Article original édité par Michèle Audin

Notes

[1La misma impresión me dio hace algunos años, a otro nivel, con Petit guide de calcul différentiel de François Rouvière, el libro de cálculo diferencial que habría adorado escribir.

[2Al punto que algunos auditores imaginaron que yo era su autora. Pero desgraciadamente, tres veces desgraciadamente, no lo soy, lo juro.

[3Girando sobre esta raíz, también hice cortos textos basados en « Joconde » de Hervé Le Tellier. Aquí hay uno :

Si yo me sacara la parte de arriba y arreglara los dos brazos de la pañoleta, de manera que formen dos lados de longitud igual a 1 de un triángulo rectángulo isósceles, ¿cuál sería la profundidad de mi escote ? -se preguntó Mona posando, y la irracionalidad de este pensamiento le hizo sonreír discretamente-.

[4El primer número irracional conocido, obtenido como la longitud de las diagonales de un cuadrado de lado $1$.

[5Aquí hay una demostración : si uno pudiera escribir $\sqrt{2}=p/q$, una fracción irreductible (es decir, que uno no puede simplificar), entonces, elevándola al cuadrado uno tendría
\[2=p^2/q^2.\]
Por lo tanto $p^2=2q^2$, por lo que $p$ sería un número par, $p^2$ sería divisible por 4, y $q$ sería par, lo que es contradictorio con el hecho de que la fracción era irreductible. ¡Es una demostración ’’por el absurdo’’ !], pero que no es transcendente, porque es solución de una ecuación, la ecuación $x^2=2$. Se dice que es algebraica [[Los números algebraicos son aquellos que son soluciones de una ecuación como $x^2=2$, y los números trascendentes son los demás.

En el texto se habla de una hoja de papel que se dobla. Se trata de una hoja de formato A4, un formato ($21\times29{,}7$) tal que la hoja doblada en dos (formato A5) tiene exactamente la misma forma, como ya fue explicado en este sitio, en el artículo. La relación longitud/anchura es igual a $\sqrt{2}$.

La última parte del texto hace alusión

  • por una parte, a la existencia de números trascendentes construidos gracias a su desarrollo decimal. Es el caso del número
    \[1{,}110001000000000000000001000\ldots= 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000000}+\cdots+\frac{1}{10^{n!}}+\cdots,\]
    construido por Liouville en el siglo XIX, cuyos decimales son todos nulos, salvo aquellos en los rangos $n!$ (lo que hace muchos $0$, cada vez más $0$),
  • Por otra parte, al hecho de que
    \[\sqrt{2}=1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\ddots}}}}}\]
    (esto es lo que uno llama una fracción continua). Todos los números que aparecen (salvo el primero) son 2. Se dice, por lo tanto, que ese desarrollo es periódico. Se puede demostrar que siempre es el caso para los números que son solución de una ecuación de segundo grado (como $x^2=2$ para $\sqrt{2}$).

François Brunault me sugiere señalar que quedan (¡afortunadamente ! agrega él, y yo estoy de acuerdo) asuntos sin resolver a propósito de $\sqrt{2}$. Por ejemplo, no se sabe si su desarrollo decimal es muy irregular (hay asuntos más precisos, pero no voy a entrar en más detalles en este artículo).

Ya que el asunto fue planteado durante la relectura, digo que este texto se trata también de algunos matemáticos y filósofos griegos que participaron en el nacimiento de $\sqrt{2}$, y especialmente de Teeteto, el joven matemático contemporáneo de Platón, que dio su nombre a un Diálogo de ese filósofo, en el cuál él discute con Sócrates justamente acerca de ese número, $\sqrt{2}$. Hay un muy lindo ’’sueño de Teeteto’’ en Rationnel mon Q.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Autorretrato de la raíz de 2» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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