Autour des équations de Navier-Stokes

Piste rouge 28 janvier 2010  - Rédigé par  Isabelle Gallagher Voir les commentaires (7)

Dans cet article nous présentons des étapes de l’histoire de l’élaboration des équations de Navier-Stokes, puis les quelques avancées dans l’histoire (encore inachevée) de leur résolution.

La mécanique des fluides : des Grecs à Bernoulli (un bref aperçu historique)

La mécanique des fluides est l’étude du comportement de fluides (liquides et gaz).
Leur étude remonte à l’Antiquité, avec Archimède (287-212 av. J.-C.), qui découvre notamment que tout corps plongé dans un liquide (ou un gaz) reçoit une poussée, qui s’exerce de bas en haut, et qui est égale au poids du volume de liquide déplacé.

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Archimède

On peut citer aussi Héron d’Alexandrie (10-70) qui a étudié la pression des gaz, et a construit en particulier des machines à vapeur, et des automates de théâtre.

Après une longue interruption, l’étude des fluides reprend un essor véritable au XVème siècle, avec Leonardo da Vinci (1452-1519). Il propose de nombreuses descriptions d’écoulements (jets, tourbillons, ondes de surface) et formule, après Héron d’Alexandrie, le principe de conservation de la masse.

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Un tourbillon vu par de Vinci

C’est au XVIème siècle que commence la mathématisation de la physique, avec notamment l’introduction d’outils algébriques destinés à rendre compte de réalités physiques. Par exemple Galilée (1564-1642)
s’intéresse ainsi à la mécanique céleste, et étudie notamment le mouvement
de la Lune, des planètes.
En 1687, Isaac Newton pose dans Principia mathematica les fondements de la mécanique classique, qui ne seront modifiés qu’en 1905 avec Einstein et la relativité restreinte (même si ces principes restent justifiés et utilisés encore aujourd’hui, dans le cadre de la mécanique classique). Newton est notamment à l’origine du principe essentiel suivant, appelé « loi fondamentale de la dynamique » : $F = ma$, autrement dit le bilan des forces $F$ agissant sur un solide est égal au produit de sa masse $m$ par son accélération $a$.

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Newton

En 1738 enfin, Daniel Bernoulli étudie les fluides non visqueux, fondant son analyse sur la conservation de l’énergie.

Parallèlement, une nouvelle théorie mathématique est en train de naître qui va entre autres révolutionner la compréhension mathématique du mouvement des corps, solides et liquides. Il s’agit du calcul différentiel, avec d’abord Leibniz, mais aussi Clairaut, Jean, Jacques et Nicolas Bernoulli, Newton, et d’Alembert. Suivons d’Alembert dans sa découverte des premières équations de la mécanique des fluides.

Les contributions de d’Alembert à l’hydrodynamique : dérivées partielles et champ des vitesses

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D’Alembert

En 1748, l’Académie des sciences de Berlin propose le Prix de Mathématiques pour l’année 1750 : il est demandé de « déterminer la théorie de la résistance que souffrent les corps solides dans leur mouvement, en passant par un fluide, tant par rapport à la figure et aux divers degrés de vitesse des corps qu’à la densité et aux divers degrés de compression du fluide. » En d’autres termes, il s’agit d’établir une théorie permettant d’interpréter, voire d’anticiper, le mouvement des fluides (ici en présence d’un obstacle solide).

Jean d’Alembert, mathématicien et philosophe français, soumet le 25 novembre 1749 un manuscrit de 137 pages qui propose une nouvelle vision de l’hydrodynamique.
L’académie lui refuse le prix, qui est attribué à un protégé de Leonhard Euler, un certain Jacques Adami (dont le manuscrit a aujourd’hui disparu).
On doit néanmoins à d’Alembert, dans ce manuscrit, d’avoir introduit dans l’étude de la dynamique des fluides les notions suivantes :

  • dérivées partielles
  • champ de vitesses
  • pression interne d’un fluide

Détaillons un peu ces points.

Commençons par introduire ce que sont les dérivées partielles, objets mathématiques absolument fondamentaux encore aujourd’hui, aussi bien en Analyse Mathématique qu’en Géométrie par exemple. Supposons que l’on décrive la trajectoire d’une voiture sur une autoroute et que l’on veuille connaître la vitesse de cette voiture à un instant donné, $t$. Cette vitesse se calcule en dérivant le vecteur position lié à la voiture par rapport au temps : plus concrètement, on calcule la différence des positions de la voiture (en mètres) entre deux instants très proches (disons $t$ et $t+h$, où $h$ est très petit), et l’on divise le résultat obtenu par le petit intervalle de temps $h$ (mesuré en secondes). Quand la longueur de cet intervalle devient infinitésimale (on dit qu’elle tend vers zéro) ce processus tend vers la valeur $u$ de la vitesse de la voiture à cet instant $t$ (en mètres par seconde). En langage mathématique, la phrase précédente se traduit de la manière suivante (en écrivant $x(t)$ pour la position (en mètres) du véhicule à l’instant $t$, et $x(t+h)$ sa position à l’instant $t+h$, et de même en notant $u(t)$ la vitesse à l’instant $t$) :
\[ \frac{x(t + h) - x(t)}{h} \rightarrow u(t) \quad \mbox{quand} \quad h \rightarrow 0. \]
Pour alléger cette écriture encombrante on écrira plutôt (et il s’agit ici d’une notation, universellement utilisée)
\[ \frac{dx(t)}{dt} = u(t). \]
Remarquons que dans cet exemple on peut avoir envie de remplacer la voiture par un avion, qui évolue dans un espace à trois dimensions plutôt que sur une autoroute (essentiellement unidimensionnelle). On s’aperçoit que la notion de vitesse doit être affinée pour prendre en compte toutes les directions possibles (en altitude, mais aussi en latitude ou longitude). La vitesse devient alors un vecteur et l’on calcule chacune des composantes de ce vecteur (c’est-à-dire la taille du vecteur dans chacune des trois directions) en procédant au calcul précédent dans chacune des directions. De même on calcule l’accélération de l’avion en dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps.

Nous sommes en train ici de redécouvrir le calcul infinitésimal, dont Leibniz fut l’un des précurseurs, avec Newton ; on doit d’ailleurs à leur concurrence une « rupture mathématique » entre la Grande Bretagne et le reste de l’Europe qui dura fort longtemps... mais c’est une autre histoire.

Une dérivée partielle n’est rien d’autre que ce même processus quand la quantité que nous cherchons à dériver (on dit aussi la fonction) dépend de plusieurs paramètres, appelés aussi variables. Par exemple la vitesse d’un avion va dépendre bien sûr de l’instant auquel on la calcule, mais aussi certainement de la pression atmosphérique, du poids du chargement, de la quantité de carburant présente, et de nombreux autres facteurs. Calculer la dérivée de la fonction par rapport à l’un de ces facteurs, en laissant les autres inchangés, c’est précisément procéder à un calcul de dérivée partielle. Pour insister sur le fait que la fonction $f$ dépend de plusieurs variables, disons que l’on considère une fonction $f(t,x)$ par exemple (dépendant du temps $t$ et de la position $x$), on remplace la notation
$\displaystyle \frac{df(t,x)}{dt} $
par
$\displaystyle \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} $
 [1]
.
Il s’agit encore d’une simple notation, qui traduit en quelques lettres et symboles tout le processus évoqué plus haut.

Venons-en enfin à la notion de champ de vecteurs, en reprenant pour commencer l’exemple des voitures sur une autoroute. Supposons que l’on ne s’intéresse plus à la vitesse d’une certaine voiture pendant son trajet, mais que tel Bison Futé un jour de grand départ, nous souhaitons connaître la vitesse du flot de voitures sur l’autoroute à un instant donné (ou sur une plage horaire). Nous n’allons pas suivre individuellement chaque voiture, mais plutôt nous placer à un endroit donné du trajet et mesurer, à cet endroit et à chaque instant, la vitesse de la voiture en train de passer. Cela nous donnera un vecteur qui dépend de l’instant auquel on le calcule, mais aussi de la position où ce calcul est fait. Connaître ce vecteur en chaque point et à chaque instant, c’est avoir accès à l’ensemble de l’état de l’autoroute en question à chaque instant. Ce vecteur est précisément un champ de vecteurs. Nous touchons ici du doigt la différence fondamentale entre le point de vue dit lagrangien (consistant à suivre en permanence la trajectoire de chaque voiture, ou plus généralement chaque particule d’un fluide) et le point de vue dit eulérien (qui consiste à calculer le champ de vitesse instantanée à chaque instant en chaque point).

Le troisième point auquel d’Alembert attache de l’importance dans son manuscrit est la notion de pression interne du fluide : néanmoins contrairement aux autres aspects de son manuscrit son analyse n’est pas complète, et c’est à Euler que l’on doit l’écriture finale des équations de la dynamique des fluides incompressibles.

Pour une analyse beaucoup plus approfondie de l’œuvre de d’Alembert, je renvoie le lecteur au billet de Pierre Crépel.

Les équations d’Euler et le paradoxe de d’Alembert

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Euler

Nous avons déjà rencontré Euler dans le paragraphe précédent. Ce mathématicien suisse est certainement l’un des plus grands mathématiciens du XVIIIème siècle, voire de tous les temps. Il publie en 1755 un traité dans lequel apparaissent pour la première fois les équations aux dérivées partielles décrivant les fluides parfaits incompressibles. Il a incontestablement lu le manuscrit de d’Alembert, on l’a vu, et s’en est sans nul doute inspiré. Néanmoins son travail est complètement abouti, contrairement à celui de d’Alembert, et en outre il parvient à dégager la notion de gradient de pression, notion qui avait échappé à d’Alembert ; le terme gradient signifie simplement le vecteur formé par l’ensemble des dérivées partielles d’une fonction $f$, par rapport à toutes ses variables, il se note $\nabla f$
 [2]
. Même s’il n’est pas possible ici de rentrer dans les détails des différents termes constituant les équations d’Euler, nous pouvons néanmoins les écrire. Nous noterons $u$ le champ de vitesse du fluide, qui dépend du temps $t$ et de la position $x$ (qui est lui même un vecteur, constitué comme dans le paragraphe précédent de la mesure de la longitude, la latitude et l’altitude). Nous notons alors $\nabla$ pour le vecteur des dérivées partielles spatiales seulement (il y a donc trois composantes à ce vecteur). Si $p$ est la pression du fluide, voilà les équations d’Euler :
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \nabla u = - \nabla p, \quad \nabla \cdot u = 0. \]
Dans ces équations, il manque la définition de la notation $u \cdot \nabla u$. Nous dirons simplement qu’il s’agit d’une opération dont l’esprit s’apparente à celui du produit scalaire des vecteurs
 [3]
. Malgré les apparences peut-être, la première équation ci-dessus n’est rien d’autre que la relation fondamentale de la dynamique de Newton
\[ ma = F \]
vue plus haut, écrite du point de vue eulérien. Nous avons que supposé que la « masse » du fluide (qui serait plutôt ici sa densité) est constante, égale à un, l’accélération est précisément l’ensemble des termes du côté gauche de l’égalité, et $-\nabla p$ correspond aux forces de pression. Pour simplifier, nous considérons qu’il n’y a pas d’autre force agissant sur le fluide. La seconde équation apparaissant au dessus, $\nabla \cdot u = 0$ [4], est la traduction au niveau du champ de vitesses de l’incompressibilité du fluide ; nous n’expliquerons pas cette traduction ici (mais disons qu’elle est associée à la conservation de la masse).

Dès 1752 cependant, d’Alembert s’aperçoit qu’un corps plongé dans un liquide satisfaisant aux principes décrits ici se meut sans se voir opposer aucune résistance, ce qui est manifestement contraire à l’intuition et à l’expérience physique. C’est ce qu’on appelle le « paradoxe de d’Alembert », qu’il formule ainsi (je traduis librement) : « Il me semble que la théorie, développée avec toute la rigueur possible, donne, au moins dans plusieurs cas, une résistance nulle, paradoxe singulier que je laisse les Géomètres futurs résoudre. »

Les équations de Navier-Stokes

Pour comprendre pourquoi un solide plongé dans un liquide va subir en général une force de résistance, tendant à le freiner, il faut en fait prendre en compte des phénomènes de frottement au niveau moléculaire dans le fluide : lors de son évolution, un fluide va en effet avoir tendance à dissiper de l’énergie, sous forme de chaleur, et ce simplement par le frottement d’une couche de fluide sur l’autre.
Inclure un tel phénomène dans les équations d’Euler semble difficile puisque les équations d’Euler formulent l’écoulement de la vitesse macroscopique
du fluide, alors que cette dissipation d’énergie a lieu à un niveau microscopique.

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Navier

On doit à Navier (mathématicien et ingénieur français) l’idée, en 1820,
d’introduire un terme supplémentaire à l’équation d’Euler, censé représenter cette perte d’énergie dans le fluide. En simplifiant à outrance sa démarche, on peut considérer qu’il a cherché à incorporer aux équations d’Euler précisément une équation dite de la chaleur. Cette dernière équation repose sur la loi de Fourier, établie mathématiquement par Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822 et s’écrit ainsi : si $T$ est la température d’un solide, son évolution au cours du temps obéit à la loi
\[ \frac{\partial T}{\partial t} - \nu\Delta T = 0, \]

$\displaystyle \Delta T =\nabla \cdot \nabla T $ (attention, les triangles sont différents !)
et où $\nu$ est un coefficient positif censé décrire le taux de dissipation de la chaleur.

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Stokes

Ainsi Navier, suivi par Stokes (mathématicien irlandais) en 1845 propose-t-il le modèle suivant pour décrire l’évolution d’un fluide visqueux (ce terme rendant compte précisément de cette dissipation d’énergie sous forme de chaleur) :
\[ \frac{\partial u}{\partial t} +u \cdot \nabla u - \nu\Delta u= - \nabla p, \quad \nabla \cdot u = 0. \]

Que signifie résoudre ces équations ?

Le premier réflexe que l’on peut avoir à la vue de cette équation est de chercher à obtenir des solutions analytiques explicites. Malheureusement hormis quelques configurations particulières extrêmement simplifiées, les chercheurs de l’époque de Navier et de Stokes se sont rapidement convaincus que cette démarche était vouée à l’échec.

L’étape suivante a alors consisté à chercher à constuire des solutions approchées, par exemple sous forme de série de fonctions trigonométriques ou polynomiales, à la manière de Fourier ou de Cauchy. Cela a conduit à développer une théorie de résolution d’équations aux dérivées partielles. Pour développer une telle théorie, il faut tout d’abord s’entendre sur ce que l’on entend par la résolution de l’équation, dès lors que l’on abandonne l’idée d’en trouver des solutions explicites. En suivant Jacques Hadamard (1865-1963) nous dirons qu’une équation aux dérivées partielles est bien posée si les trois conditions suivantes sont satisfaites, (existence, unicité, stabilité) :

  • l’état du fluide étant supposé connu à un instant donné (initialisons ce temps à $t = 0$), il existe une solution à l’équation à des instants futurs, coïncidant avec cet état initial à l’instant $t = 0$.
  • il n’existe qu’une seule solution à l’équation coïncidant avec cet état initial à l’instant $t = 0$.
  • cette solution est stable sous perturbations, ce qui signifie que si l’on modifie un tout petit peu l’état du fluide initial, les états ultérieurs ne seront que peu modifiés à leur tour, du moins pendant un certain temps.

D’un point de vue physique, ces trois principes correspondent au fait que

  • il est effectivement possible de réaliser une expérience correspondant à l’évolution décrite par les équations
  • si l’on réalise l’expérience deux fois, on trouvera deux fois le même résultat
  • si l’on fait de petites erreurs de mesure, cela ne modifiera pas trop violemment la solution (pendant un temps fixé).

Ce dernier point est particulièrement important si l’on songe par exemple à des applications numériques : il est impossible d’implémenter l’équation exacte dans un ordinateur, on est obligé de la remplacer par une approximation (un ordinateur ne reconnaît que des quantités discrètes, et pas continues comme nos variables $x$ et $t$ qu’il faut donc discrétiser au préalable par exemple) et il est bon de vérifier tout d’abord que la solution ne sera pas trop sensible à ce type de procédé.

Sait-on résoudre ces équations ?

La réponse est malheureusement en général non... Si le fluide évolue dans un plan (ce qui n’est certes pas très physique, mais aide beaucoup mathématiquement) alors on sait depuis les travaux fondamentaux de Jean Leray en 1934 que les équations sont bien posées au sens précédent. En trois dimensions d’espace en revanche la situation est beaucoup moins claire, et pour résumer l’état de nos connaissances sur la question (qui remontent presque toutes d’ailleurs aux travaux de Leray, du moins pour les idées fondamentales sous-jacentes) on peut dire que l’on ne sait résoudre ces équations, au sens du paragraphe précédent, que si l’état du fluide à l’instant initial est suffisamment proche du repos.

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Leray

Dans le cas contraire (une mer un peu agitée par exemple) on n’est pas capable de décider si la solution de l’équation correspondant à cet état initial va « vivre » éternellement ou exploser en temps fini.

Cette dernière notion signifie qu’à un certain instant ultérieur, une des composantes de la vitesse va devenir plus grande que n’importe quel nombre donné à l’avance (on parle de singularité du champ de vitesse). Cela peut paraître physiquement peu concevable... la signification physique de ce fait est simplement qu’à partir d’un certain instant, la vitesse du fluide devient très grande et en particulier dépasse la vitesse du son. Mais alors l’hypothèse d’incompressibilité du fluide (que nous avons traduite par la relation un peu mystérieuse $\nabla \cdot u = 0$ dans les équations d’Euler et de Navier-Stokes ci-dessus) ne peut plus être satisfaite, et il faut simplement changer de modèle à cet instant. D’un point de vue physique, de telles solutions « explosives » sont donc une indication que le modèle mathématique choisi cesse d’être valable.

Pour conclure cette introduction aux équations de Navier-Stokes, nous pouvons indiquer que la résolution des équations de Navier-Stokes fait partie de l’un des sept Problèmes du Millénaire proposés par la Fondation Clay, et dont l’un a été résolu récemment (il s’agit de la conjecture de Poincaré). Pour gagner le million de dollars à la clef, il s’agit soit de démontrer que les équations de Navier-Stokes sont bien posées au sens rappelé au-dessus, pour toute donnée initiale « suffisamment régulière » (mais arbitrairement loin du repos, en un sens que je ne précise pas), soit de démontrer qu’il existe un état initial du fluide tel qu’à un certain instant ultérieur, il « explose en temps fini » comme expliqué ci-dessus.

Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement Michèle Audin de m’avoir incitée à écrire ce texte, ainsi qu’Etienne Ghys pour ses nombreux conseils lors de son élaboration.

Note de la rédaction : à voir également sur le site, le portrait d’Emmanuel Ferrand sur Isabelle Gallagher.

Notes

[1Pour distinguer les deux, elles se prononcent respectivement « d f sur d t » et « d rond f sur d rond t ».

[2Ce triangle inversé se lit « Nabla ». Voici ce que dit Wikipedia sur son histoire :
« La forme de Nabla vient de la lettre grecque delta majuscule $\Delta$ renversée, à cause d’une utilisation comparable, la lettre grecque à l’endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur (le laplacien) en calcul différentiel. Le nabla a été introduit par Peter Guthrie Tait en 1867. D’abord surnommé avec malice « atled » (delta à l’envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l’avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l’antiquité portait ce nom. »

[3Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs $a$ et $b$, noté $a \cdot b$, est défini par :
\[a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,\]
où $a_1$, $a_2$ et $a_3$ sont les composantes de $a$ dans les trois directions rappelées ci-dessus.

[4Prononcée « divergence de $u$ égale à zéro ».

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Pour citer cet article :

Isabelle Gallagher — «Autour des équations de Navier-Stokes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Bravo et merci !

    le 29 janvier 2010 à 00:58, par Marie.Farge

    Tu as fait un excellent travail, à la fois de historique et pédagogique, qui servira d’exemple pour les articles suivants, j’espere. J’aime beaucoup ta façon de raconter ainsi les mathématiques au grand public de façon vivante, agréable à lire et en rapport avec les recherches actuelles, en faisant l’effort de tout redéfinir, comme si tu t’adressais à un(e) adolescent(e) intéressé(e) sans culture particulière des mathématiques.

    Tu vas certainement éveiller des vocations parmi les jeunes.

    Merci et bravo !

    Marie Farge

    Répondre à ce message
  • Autour des équations de Navier-Stokes

    le 31 janvier 2010 à 09:42, par barbaresco

    Un des grands défis de la compréhension des équations de Navier réside dans l’étude et la modélisation des tourbillons des sillages des avions de ligne.
    L’Histoire de l’étude des turbulences de sillage remonte aux premiers travaux de Léonard de Vinci qui fut le premier à analyser la formation de tourbillons dans l’eau ou l’air et les écoulements autour d’un obstacle. C’est lui qui donna le nom actuel de « turbulence » à ces phénomènes.
    Il faudra attendre ensuite 1941 et les travaux du mathématicien russe Kolmogorov qui permirent de passer d’une analyse globale des turbulences à une analyse individuelle de chaque tourbillon en terme de taille et d’énergie. Il explique ainsi comment un tourbillon de grande taille se scinde en de plus petits éléments qui se divisent à leur tour en « cascade turbulente » dont il analysa l’évolution des vitesses. Landau, Kolmogorov, Arnold et l’école des mécaniciens russes développèrent ainsi la théorie ergodique et la théorie statistique de la turbulence homogène et isotrope.

    En parallèle, un jeune mathématicien français, Jean Leray (1906-1998), originaire de Nantes, travaillait sur la turbulence de sillage. Sa thèse portait sur la mécanique des fluides. Jean Leray était fasciné par ce spectacle qu’il avait dû observé longuement le long des berges de la Loire ou de la Sèvre nantaise. Il écrivit lorsqu’il poursuivit ses études à Paris à l’École Normale Supérieure, ayant changé de fleuve : « Observons la Seine en crue, contournant une pile de pont : son écoulement paraît régulier, puis, dans un domaine de plus en plus petit, il s’accélère de plus en plus, alors un choc local dissipe localement une large part de l’énergie en jeu et rétablit le calme ; puis le phénomène se répète ». Il publia ensuite un article qui allait faire avancer de façon profonde la compréhension des équations de Navier et les phénomènes d’écoulement d’un fluide et de tourbillons de sillages. Cet article parut en 1934 dans la revue Acta Mathematica sous le titre « Sur le mouvement d’un fluide visqueux remplissant l’espace ». Leray y montre que les équations de Navier dans l’espace à 3 dimensions ont toujours une solution faible avec des propriétés de croissance appropriées, l’unicité des solutions faibles des équations de Navier n’étant pas connue (pour l’équation Euler, l’unicité de solutions faibles est de façon saisissante fausse). Il s’agissait de la première avancée très significative, permettant de donner un cadre conceptuel renouvelé. Jean Leray publia d’autres articles sur les turbulences de sillage comme « Les problèmes de représentation conforme d’Helmholtz ; théories des sillages et des proues » en Juillet 1935. Malgré les conseils de prudence qui lui sont prodigués par Henri Lebesgue « Ne consacrez pas trop de temps à une question aussi rebelle. Faite autre chose », Jean Leray persévéra et il écrivit à ce propos quelques années plus tard : « Dans des cas généraux et importants, j’ai réussi, grâce à la notion d’ensemble compact, à déduire des seules majorations a priori l’existence, indépendamment de toute hypothèse d’unicité ; j’ai pu ainsi développer une analyse de la théorie des liquides visqueux qui n’avaient été qu’amorcée par l’école de M. Oseen, effectuer une discussion de la théorie des sillages et des jets dont Levi-Civita et H. Vallat avaient signalé les difficultés et l’intérêt, enfin donner des conclusions complètes à la célèbre discussion du problème de Dirichlet qu’avait faite M. Bernstein ». Ainsi, Leray nous montre que le mouvement devient turbulent au moment où la solution régulière laisse place à une solution faible qui peut avoir du tourbillon (vorticité) ω = rot u infini en certains points. Il est impressionnant aujourd’hui de constater que le nom de Jean Leray reste inconnu du plus grand nombre alors qu’il a été Professeur au Collège de France de 1947 à 1978, membre de l’Académie des Sciences ainsi que de 12 académies étrangères et qu’il a obtenu les prestigieux prix Wolff en 1979 et prix Lomonossov en 1988. Jean Leray est sans conteste l’un des plus grands mathématiciens du 20ème siècle dont les travaux majeurs ont marqués, la dynamique des fluides et les équations aux dérivées partielles, les fonctions de plusieurs variables complexes et la topologie algébrique (avec la création de la théorie des faisceaux). Fait prisonnier en 1940 et interné dans un camp (où il créé une université de captivité pour les jeunes prisonniers), Jean Leray, afin d’être absolument certain que ses recherches ne puissent pas bénéficier à l’effort de guerre allemand, délaisse la mécanique des fluides pour se consacrer à la topologie algébrique. En 1993, Jean Leray évoqua encore ce problème pour parler du sujet qui nous intéresse dans cet article : « Les premiers avions eurent des ailes minces, provoquant de regrettables remous. Des années de pénibles essais furent nécessaires à l’intelligence humaine pour découvrir ce que mémorisent les gènes des volatiles : l’intérêt aérodynamique des ailes épaisses ; à l’avant un bord arrondi, à l’arrière un bord effilé. ».
    Malgré ces avancées successives, la turbulence garde encore aujourd’hui une grande partie de son mystère. La question « la solution cesse-t-elle vraiment d’être régulière au bout d’un temps fini ? » est l’objet du prix Clay en mathématique : « Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations. » (Millenium Problems, Clay Mathematics Institut).

    L’étude des turbulences de sillage a été relancée à la fin des années 60 par les russes, lorsque Yuri Gagarin décéda accidentellement en perdant le contrôle de son aéronef qui s’écrasa après avoir été déstabilisé par des turbulences de sillage. En 1968, Belotserkovsky, son professeur de mécanique des fluides, a été chargé par l’état soviétique de l’enquête sur la mort de Gagarin. Sergei Belotserkovsky, prit ensuite la tête d’un programme de recherche ambitieux qui permit de mettre au point le premier modèle numérique de modélisation et de prédiction d’évolution des turbulences de sillage. Sergei Belotserkovsky, natif de la ville antique de Livny dans la région Orel de la Russie, a soutenu sa thèse de doctorat en 1955, après laquelle il entra à l’Académie de l’Armée de l’air et à l’Institut central d’Aéro/hydrodynamique. C’est à cette époque, que la formation scientifique des premiers cosmonautes dirigés par Yuri Gagarin a occupé une place importante dans son travail. L’architecte spatial Korolev prévoyait un avenir scientifique brillant pour Gagarin et Belotserkovsky participait intensivement à sa formation scientifique avant sa mort tragique qui en a empêché l’accomplissement. Une dette d’honneur a incité alors l’enseignant à œuvrer à une nouvelle mission : garder pour l’histoire l’image brillante du premier cosmonaute. Le professeur Belotserkovsky repris alors intensément les travaux qu’il avait commencé à construire dans les années 40 sur la description des turbulences de sillage. En 1959 il a publié un ouvrage de référence « Atlas of Unsteady Characteristics for Wings with Various Planeforms”. Le professeur Belotserkovsky a fondé le Centre Scientifique-industriel SABIGO conjointement avec ses élèves et est devenu son Président. On lui a attribué le Prix de Zhukovsky en 1967, le Prix d’état de l’URSS en 1975 et de nouveau en 1981 et le Prix du Conseil des ministres de l’URSS, aussi en 1981. En 1995 il a reçu le titre de Scientifique d’Honneur de la Russie. Son fils Andrei anime toujours la communauté « turbulence de sillage » en Russie et participe régulièrement aux travaux des réseaux Wakenet-Europe et Wakenet-USA.

    Les études dans les pays occidentaux ont été intenses dans les années 70 aux USA avec l’arrivé du Boeing 747. Des distances de sécurité entre avions, considérées de nos jours comme très (« trop ») conservatives, ont été définies à cette époque et sont toujours recommandées par l’OACI. Dans les années 1993 à 2000, « Transport Canada » a lancé un programme d’étude et de modélisation des turbulences de sillage. Les objectifs du Projet étaient d’augmenter la capacité d’aéroports majeurs, en maintenant ou améliorant les niveaux existants de sécurité. Dans ce but, les canadiens ont travaillé sur l’évaluation et le développement d’un Système de Prévision de Tourbillon (VFS : Vortex Forecasting System). « Transport Canada » coopéra sur cette étude avec l’Université catholique de Louvain en Belgique et SABIGO Ltd de Moscou. Le modèle développé par les russes fut ainsi amélioré et recodé par le professeur Grégoire Winckelman, qui ramena l’expertise en Europe et donna sur cette base naissance au modèle européen actuel WAKE4D. Cette recherche a été étendue à d’autres organisations de recherche au Canada, aux États-Unis, aux Royaume-Uni, en France et en Allemagne. En particulier, « Transport Canada » a passé un accord aux États-Unis avec la NASA et le Centre de recherches de Langley (LaRC) pour conduire un certain nombre d’activités coopératives complémentaires. Cette coopération a donné naissance au modèle américain de la NASA, modèle APA, encore employé de nos jours. On voit que les travaux précurseur de Sergei Belotserkovsky, et le modèle VFS développé par SABIGO sont à l’origine de l’ensemble des outils actuellement utilisés dans le monde occidental.

    L’intérêt pour les turbulences de sillage a été relancé en ce début de siècle avec le développement du transport aérien dont toutes les études prévoient un développement considérable dans les 20 ans qui viennent. Doublement ou triplement du trafic en Europe, quintuplement en Asie, sous la poussée d’un nombre toujours plus grands de personnes (estimé à 1 milliard de passagers supplémentaires) accédant à un niveau de vie leur permettant d’utiliser les facilités du transport aérien pour le travail ou le tourisme, auquel s’ajoute le développement du fret aérien.

    En Europe, pour faire face à la demande nouvelle des compagnies aériennes, la compagnie AIRBUS a lancé le développement et la commercialisation d’une nouvelle famille d’avion de grosse capacité : A380. Comme nous le verrons par la suite, la force des turbulences de sillage d’un avion (mesurée en terme de circulation en m2/s), dépend du rapport entre sa masse sur le produit de son envergure par sa vitesse. L’Airbus A380 possédant sur la base de ces caractéristiques des turbulences de sillage plus intenses que la génération précédente des Boeing B747, il nécessitait une analyse spécifique pour déterminer ses nouveaux paramètres. Ainsi, l’A380 a été le premier avion a passé une « Wake Vortex Certification » et des études spécifiques menées en collaboration avec EUROCONTROL et la FAA. Quelques temps plus tard, la société Boeing a décidé le lancement de la version étendue (« strech ») du Boeing B747, qui porte le nom de B747-8. Comme pour l’A380, le Boeing B747-8 est entré dans une phase de « Wake Vortex Certification » pilotée par la FAA en coordination avec EUROCONTROL depuis 2008.

    Les résultats des études successives relatives aux turbulence de sillage de l’A380 ont guidé l’OACI pour l’application de nouvelles règles concernant les distances de sécurité à appliquer derrière le nouveau gros aéronef. Une nouvelle classe « Super-Heavy » a été créée qui rajoute plusieurs miles nautiques aux distances de sécurités « wake vortex » en plus de ceux habituellement appliqués pour la catégorie « Heavy » (Boeing B747 classique). Nous donnons dans la figure ci-dessous, les nouvelles règles OACI pour l’A380 et qui furent révisées en 2005, 2006 et 2008 suite aux essais en vol d’Airbus. Ces distances de sécurité sont données pour l’avion suiveur en fonction de la catégorie de l’avion qui précède (« small », « medium » & « heavy ») et la phase de vol (approche, départ ou en-route).

    Au niveau européen, de nombreuses études ont été menées dans le cadre du PCRD (Programme Cadre de Recherche et Développement) depuis une décennie. Nous attirons l’attention sur les trois plus récentes ATC-WAKE (http://www.wakenet3-europe.eu/index.php?id=37), FAR-WAKE (http://www.far-wake.org/) et CREDOS (http://www.eurocontrol.int/eec/credos/public/subsite_homepage/homepage.html). L’étude ATC-WAKE (Integrated Air Traffic Control WAKE vortex safety and capacity system) était pilotée par le NLR et avait pour objectif principal de développer et construire une plate-forme de simulation d’un système ATC de gestion des alertes de tourbillons de sillage. Thales Air Systems avait la charge de la définition de l’architecture du système. Cette plate-forme est utilisable pour évaluer l’interopérabilité avec des systèmes ATC existants, évaluer le gain en sécurité et les améliorations de capacité, évaluer la rentabilité opérationnelle et l’acceptabilité et faire un plan de mise en oeuvre technologique. Cette plate-forme est un pas essentiel qui peut mener à l’installation d’un système d’aide à la décision ATC intégré aux aéroports, permettant aux contrôleurs aériens d’appliquer de nouveaux temps optimisés d’espacement entre avions. L’étude FAR-Wake est un projet de recherche terminé en 2008 qui a visé à approfondir les connaissances actuelles. Parmi d’autres, les questionnements les plus importants concernent le rôle précis des instabilités de ces tourbillons sur l’affaiblissement du sillage lui-même, les effets du fuselage, des engins de propulsion, et enfin, du sol sur ces tourbillons. Les activités de recherche ont porté sur l’étude de tourbillons en conditions idéales pour accéder à une meilleure connaissance fondamentale des phénomènes physiques sous-jacents en jeu, en complétant les seules connaissances empiriques disponibles à ce jour. L’étude FAR-WAKE a développé des modèles théoriques avec les outils numériques associés pour caractériser et prédire le comportement de ces structures tourbillonnaires en conditions idéales et avec effets de bord. Grâce aux études numériques et expérimentales réalisées mais également en s’appuyant sur d’autres bases de données, des études paramétriques avec une description associée systématique des phénomènes tourbillonnaires ont été alors possibles. Enfin, l’étude CREDOS (Crosswind - Reduced Separations for Departure Operations) toujours en cours examine les possibilités de réduction conditionnelle sûre des distances minimums de séparation liées aux turbulences de sillage lors des départs en fonction de mesures senseurs de monitoring des turbulences de sillage et de mesures vents associées à des modèles de prédiction d’évolution.

    Plus récemment, en Avril 2008, le 7ème PCRD a lancé un réseau d’expertise appelé WAKENET3-EUROPE (http://www.wakenet3-europe.eu/), piloté par AIRBUS et pour lequel THALES AIR SYSTEMS est en charge de la tâche « Wake vortex sensors & advisory systems ». En janvier 2009, THALES AIR SYSTEMS a organisé le 1er Workshop international du réseau Wakenet-3 à Thales Université à Jouy-en-Josas sur le thème « Wake Turbulence Safety in Future Aircraft Operations » (http://www.wakenet3-europe.eu/index.php?id=63). Cet événement a rassemblé 120 participants : des européens, mais également des américains (FAA, NASA, BOEING, …) membres du réseau WAKENET-USA, des russes de WAKENET-RUSSIA, des japonais de JAXA et d’ENRI du programme DREAMS, des chinois du NUDT (qui ont effectué des essais de monitoring des turbulences de sillage avec un radar bande X, et développé des modèles de SER radar en couplant modèle de mécanique des fluides et modèle électromagnétique).

    L’europe vient de lancer la phase de développement du programme SESAR (Single European Sky Air Traffic Management Research, http://www.eurocontrol.int/sesar/public/subsite_homepage/homepage.html). Le programme SESAR, volet technique de la réalisation du ciel unique européen, a pour objectif de développer une nouvelle génération de systèmes de gestion du trafic aérien (ATM) capable de garantir la sécurité et la fluidité du transport aérien pour les 30 années à venir. Reposant sur des systèmes ouverts, SESAR sera compatible avec d’autres initiatives mondiales de même nature, telles que le projet NextGen (Next Generation Air Transportation System, http://www.jpdo.gov/ ) de modernisation du contrôle du trafic aérien aux Etats-Unis. Cette refonte se caractérisera entre autres par la généralisation de technologies nouvelles, la gestion dynamique de l’espace aérien, et le développement d’outils automatiques d’aide au contrôle aérien. Thales est, aux côtés de ses partenaires, l’un des initiateurs de ce projet paneuropéen, dans lequel il joue un rôle majeur par son soutien actif et son implication dans le lancement du programme, apportant toute son expertise technique dans le cadre de la phase de définition et dans la préparation des phases à venir. La phase de définition s’est achevée en mai 2008. La phase de développement (2009-2016) déterminera d’ici 2015 tous les éléments techniques qui donneront corps au futur système ATM européen : concepts opérationnels et procédures validées, normes, architectures détaillées, technologies, prototypes et essais en conditions réelles. L’organisation de la phase de déploiement qui débutera en 2015 reste à finaliser. Le nouveau système ATM, dont l’introduction aura lieu en 2020, devrait répondre aux impératifs suivants : une capacité multipliée par 3 et un niveau de sécurité multiplié par 10. Relativement à ces objectifs, la gestion des alertes et des séparations liées aux dangers des turbulences de sillage est au cœur de la problématique.

    1- Jean-Yves Chemin , « Jean Leray et les fondements mathématiques de la turbulence », Société Mathématique de France, coll. Un texte un mathématicien, 14 février 2007
    2- Jean-Yves Chemin , « Le système de Navier-Stokes incompressible, soixante dix-ans après Jean Leray » , Séminaires et Congrès, n°9, p. 99–123, Société Mathématique de France, 2004
    3- Yves Meyer, « Jean Leray et la recherche de la vérité », Journées anniversaire Jean Leray, Nantes

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    • Est-ce une question ?

      le 1er février 2010 à 22:39, par Ludmila

      Je ne comprends pas bien. Ce « message » est tellement long et compact qu’il est presque impossible de le lire.

      Mettre ça à la suite du beau travail fait par Mme Galaguer, c’est un peu étrange.

      Respectueusement

      Ludmila

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  • Autour des équations de Navier-Stokes

    le 31 janvier 2010 à 22:35, par lboullu

    Bonjour, pourriez vous indiquer la façon dont se lit, se prononce, le triangle et le triangle à l’envers ?
    Merci de votre réponse

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    • Autour des équations de Navier-Stokes

      le 1er février 2010 à 22:33, par Isabelle Gallagher

      Le triangle est la lettre grecque majuscule « Delta » et se prononce Laplacien, ou encore simplement Delta. Quant au triangle à l’envers (pointe en bas) il se prononce « nabla ». Une note en bas de page a été rajoutée à l’article avec un petit historique de cette notation.

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  • Autour des équations de Navier-Stokes

    le 20 octobre 2010 à 05:41, par Marc JAMBON

    C’est Lorentz physicien néerlandais qui est à l’origine de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz qui décrivent les changements de référentiels portent encore sont nom et datent de 1902. Einstein a repris et développé cette théorie dans un article de 1905.

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  • Formule d’Euler

    le 14 décembre 2011 à 13:34, par Marc JAMBON

    Telle qu’elle est écrite votre formule d’Euler n’apparait pas comme homogène quand on compare les deux membres. C’est tout à fait facheux, cela provient du fait que vous supposez la densité de masse égale à un.
    Or la densité de masse est une grandeur physique qui ne peut être identifiée à un nombre entier élément de N. Non seulement, elle a une unité, mais, comme toute grandeur physique c’est une grandeur approchée : encadrement ou couple d’une valeur approchée et d’une incertitude strictement positive.
    En appelant, comme il est d’usage, ρ cette grandeur, qu’on on met en facteur au premier membre, on interprète alors bien votre formule comme vous le suggérez :
    masse d’un volume infiniement petit x accélération = force de pression agissant sur ce volume.

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