Autour des surfaces de Willmore

Hors piste Le 24 janvier 2014  - Ecrit par  Yann Bernard Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec Le Séminaire Bourbaki

Qu’ont en commun un archet de violon, un philosophe anglais, un empereur français, un pont qui s’écroule, une mathématicienne obstinée, et une bouée ? L’énergie de Willmore, naturellement. Paris.

Cet article est une introduction à l’exposé de Tristan RIVIÈRE « La conjecture de Willmore » [d’après André Arroja Neves et Fernando Codá Marques] au Séminaire N. Bourbaki le samedi 25 janvier 2014.

Imaginons que nous disposions d’un archet de violon et d’une fine plaque métallique horizontale sur laquelle sont laissés libres d’aller et venir des grains de sable. Qu’observerions-nous en frottant l’archet contre le rebord de la plaque ? En 1680, le philosophe et scientifique anglais Robert Hooke fut le premier à tenter de répondre à cette question (posée alors en des termes expérimentaux différents). Quelque cent vingt ans plus tard, le physicien et musicien allemand Ernst Chladni répéta l’expérience de façon systématique [Chl]. Les « motifs » qu’il découvrit, aujourd’hui appelés figures de Chladni, provoquaient l’étonnement de ceux qui en étaient témoins [1]. Voyez vous-même :

Ce fut le cas de l’empereur Napoléon I$ ^\text{er} $ à qui l’expérience fut présentée en 1809. Il chargea Pierre-Simon de Laplace et l’Académie des Sciences d’organiser une compétition afin d’apporter une explication mathématique aux figures de Chladni. Le vainqueur recevrait une médaille contenant 1 kg d’or. Joseph-Louis Lagrange déclara le problème si ardu que sa solution ne passerait que par la création d’une branche nouvelle des mathématiques. Seuls deux candidats, Siméon-Denis Poisson et Sophie Germain, relevèrent le défi. La trépidante histoire qui s’ensuit serait trop longue à raconter ici. Au terme de nombreuses années et de trois essais, c’est finalement Germain qui remporta en 1816 le concours (même si elle choisit de ne jamais officiellement recevoir son prix). Ce n’est pas la solution du problème de Chladni qui va nous intéresser ici, mais plutôt une observation [2] décisive formulée par Sophie Germain. Cette observation devait marquer le début de l’étude de l’élasticité des surfaces. S’inspirant des travaux des Suisses Daniel Bernoulli [Ber] et Leonhard Euler [Eul] sur les elastica (poutres flexibles), Sophie Germain formula le postulat suivant :

En chaque point $ p $ de la plaque vibrante, la force nécessaire à la ramener au repos est proportionnelle à la courbure moyenne $ H(p) $ de la plaque au point $ p $.

Avant de rappeler la définition de la courbure moyenne d’une surface, revenons au cas d’une courbe plane orientée (supposée suffisamment lisse par souci de simplicité).

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La courbure de $\Gamma$ au point $A$ vaut $\kappa(A)=\frac{1}{R_A}$ et elle vaut $\kappa(B)=-\frac{1}{R_B}$ au point $B$.

En tout point $p$ d’une courbe plane orientée $\Gamma$ il existe un vecteur unité $\vec{N}(p)$ normal à la courbe. Il existe aussi un unique cercle tangent à $\Gamma$ en $p$ et épousant au mieux la courbe (c’est-à-dire qu’en $p$, le cercle et la courbe ont les mêmes dérivées premières et secondes). Notons $R_p$ son rayon. De même que l’on décide des rives droite et gauche d’une rivière en fonction du sens d’écoulement de son cours (son « orientation »), on décrète par convention que si au point $p$ le cercle tangent et le vecteur normal sont du même côté de la courbe, la courbure est négative et vaut $\kappa(p)=-\frac{1}{R_p}$. Sinon, elle est positive et vaut $\kappa(p)=\frac{1}{R_p}$. Ainsi une droite a en tout point une courbure nulle, alors qu’un cercle de rayon $R$ satisfait $|\kappa|=\frac{1}{R}$.

La courbure en un point mesure la vitesse à laquelle le vecteur tangent tourne quand on parcourt la courbe autour de ce point. Sur la figure ci-dessous, les vecteurs unités tangents et normaux sont représentés en deux points distants de $\delta s$. En pointillés, on a retracé sur le premier point les vecteurs correspondants au deuxième point. La différence entre les vecteurs tangents est notée $\delta T$.

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La courbure au premier point peut alors s’exprimer sous la forme :
\[ \kappa = \lim_{\delta s\rightarrow0} \dfrac{\delta T}{\delta s}\:. \]

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Prenons maintenant le cas d’une surface $S$ lisse orientée (c’est-à-dire qu’en chaque point $p$ de la surface $S$ nous est donné un vecteur unité normal à la surface $\vec{N}(p)$). Il existe une infinité de plans passant par $p$ et contenant le vecteur $\vec{N}(p)$. Chacun de ces plans coupe la surface en une courbe qui passe par le point $p$ et qui est équipée du vecteur unité $\vec{N}(p)$ qui lui est normal. Donc chacune de ces courbes a une courbure définie au point $p$ (comme nous l’avons rappelé ci-dessus). Appelons les valeurs maximale et minimale des courbures obtenues $\kappa_1(p)$ et $\kappa_2(p)$, respectivement. Ce sont les courbures principales de la surface au point $p$. La quantité $H(p)=\frac{1}{2}(\kappa_1(p)+\kappa_2(p))$ est appelée courbure moyenne.

Revenons au postulat de Sophie Germain, et contentons-nous pour le moment d’une courbe $\Gamma$ plutôt que d’une surface : la force élastique en un point est proportionnelle à la courbure en ce point, disons $F(p)=a\kappa(p)$, où $a$ est une constante de proportionnalité d’origine mécanique. L’énergie élastique infinitésimale $\delta E$ stockée dans un petit segment de droite que l’on courbe s’obtient en multipliant la force $F$ par le déplacement $\delta T$ (voir figure ci-dessus). D’où l’expression :
\[ \dfrac{\delta E}{\delta s} := F\dfrac{\delta T}{\delta s} = a\kappa\dfrac{\delta T}{\delta s}\:. \]
En passant à la limite $\delta s\rightarrow0$, et en utilisant la description de la courbure donnée ci-dessus, il vient
\[ \dfrac{dE}{ds}=a\kappa^2\:. \]

En intégrant cette expression sur toute la courbe $\Gamma$, on obtient finalement une expression de l’énergie élastique totale de la courbe :

\[ E(\Gamma) = \int_{\Gamma}\kappa^2(s)\,ds\:. \]

C’est Bernoulli qui le premier suggéra cette énergie à Euler dans leur étude des elastica. Sophie Germain s’en inspira pour déduire une expression de l’énergie élastique « stockée » dans une surface. A une constante de proportionnalité près, elle obtient :
\[ W(S)=\int_{S}H^2(p)\,dp\:, \]
où $dp$ représente l’élément d’aire de la surface $S$.

Aujourd’hui, on l’appelle énergie de Willmore, du nom du mathématicien anglais Thomas Willmore qui la remit au goût du jour en 1965 [Wil]. Déjà dans les années 1920, le mathématicien allemand Wilhelm Blaschke [Bla] et son élève Gerhard Thomsen [Tho] avaient identifié l’énergie de Willmore comme essentielle dans l’étude de la géométrie conforme. Mais l’énergie de Willmore joue aussi un rôle, entre autres, en relativité générale (elle est le contributeur principal de la masse d’Hawking [3]), en biologie cellulaire (nous en reparlerons ci-dessous), en optique [KaRu]. C’est cette énergie qui va occuper le reste de cette présentation. En particulier, nous allons discuter des surfaces qui la minimisent.

Ce qui rend l’énergie de Willmore particulièrement intéressante d’un point de vue physique, c’est son invariance par des transformations dites conformes. Par exemple, l’énergie d’une surface $S$ reste inchangée quand la surface est soumise à une translation ou à une rotation. Mais l’énergie de la surface reste aussi inchangée par dilatation.

Minimiser l’énergie de Willmore peut paraître un exercice évident. En effet, toute surface minimale $S$ (satisfaisant $H(p)=0$ en tout point $p$) réalise $W(S)=0$. Ces surfaces ont été largement étudiées [4]. Le plan en est une ; en voici trois autres exemples :

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Elles ont toutes la particularité de ne pas être compactes, c’est-à-dire que l’on ne peut pas les faire tenir entièrement dans un cube de taille finie sans les couper et introduire un bord. Quand on minimise l’énergie de Willmore, on se restreint donc à une classe particulière de surfaces, et on se cantonne généralement aux surfaces compactes sans bord. On peut de plus demander que la surface recherchée ait un genre donné [5]. Il est aussi possible de prescrire l’aire de la surface et le volume qu’elle délimite (plus souvent, puisque l’énergie est invariante par dilatation, on prescrit le volume réduit ; c’est le rapport entre le volume et l’aire élevée à la puissance $\frac{3}{2}$ ; ainsi défini, le volume réduit est un nombre sans dimension et indépendant de la taille de la surface). Ce dernier cas est appelé « problème d’Helfrich » [Hel]. Les vésicules biologiques (telles que les globules rouges) et les liposomes (que l’on rencontre entre autres dans les produits ménagers et cosmétiques) tendent à minimiser l’énergie de Willmore et sont contraints à un volume réduit donné. Voir à ce sujet [MJSFB] et l’article d’Isabelle Cantat sur le globule rouge.

On appellera surface de Willmore toute surface minimisant l’énergie de Willmore localement. Par cela, on entend que toute petite perturbation de la surface en question engendre une nouvelle surface dont l’énergie de Willmore correspondante est supérieure à celle de la surface de départ. Nous en avons déjà rencontré quelques-unes : les surfaces minimales. Nous allons en rencontrer quelques autres dans la suite.

L’énergie de Willmore peut se reformuler de la façon suivante :
\[ W(S)\,=\,\dfrac{1}{4}\int_{S}(\kappa_1+\kappa_2)^2dp\,=\,\dfrac{1}{4}\int_{S}(\kappa_1-\kappa_2)^2dp\,+\,\int_{S}\kappa_1\kappa_2\,dp\:. \]
Il se trouve que pour une surface $S$ sans bord, l’intégrale $\int_{S}\kappa_1\kappa_2dp$ est une constante qui ne dépend que de la topologie de $S$ (de son nombre d’anses) et qui se calcule aisément [6]. Une surface minimisant l’énergie de Willmore minimise donc aussi l’énergie
\[ \widetilde{W}(S)\,=\,\dfrac{1}{4}\int_{S}(\kappa_1-\kappa_2)^2dp\:. \]
Notons tout d’abord que $\widetilde{W}(S)$ s’annule si et seulement si $\kappa_1(p)=\kappa_2(p)$ pour tout point $p$ de la surface $S$. Or, on vérifie que les sphères rondes sont les seules surfaces compactes sans bord ayant cette propriété. Autrement dit, l’énergie $\widetilde{W}$ mesure la sphéricité : plus on « s’éloigne » de la sphère et plus l’énergie est grande. Tout comme $W$, l’énergie $\widetilde{W}$ reste inchangée par translation, rotation, et dilatation. En outre, $\widetilde{W}$ est également invariante par inversion. Pour un point $q$ de $\mathbb{R}^3$, l’inversion $I_q$ est l’opération qui à chaque point $x$ de $\mathbb{R}^3$ fait correspondre le point $I_q(x)=q+\dfrac{x-q}{|x-q|^2}$. Aussi a-t-on $\widetilde{W}\big(I_q(S)\big)=\widetilde{W}(S)$. Attention : ceci n’est pas si simple à vérifier et nécessite quelques calculs !

Exemple 1 :
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La sphère bleue de centre $(0,0,0)$ et de rayon $1$ devient la sphère verte de centre $(0,0,\frac{4}{3})$ et de rayon $\frac{1}{3}$ une fois inversée par rapport au point $(0,0,2)$ (qui se trouve en dehors de la sphère bleue).
Inversée par rapport au point $(0,0,1)$ (qui se trouve sur la sphère bleue), la sphère bleue devient le plan rouge.
Ces trois surfaces ont la même énergie $\widetilde{W}$ (nulle, pour être exact).

Exemple 2 :
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Dans l’étude des surfaces de Willmore, il en existe une qui se distingue par son importance toute particulière, comme nous le verrons dans la suite. Il s’agit du tore de Clifford. C’est un tore symétrique qui s’obtient en faisant tourner un cercle de rayon 1 autour d’un axe situé à la distance $\sqrt{2}$ de son centre.
On vérifie que l’énergie $\widetilde{W}$ du tore de Clifford vaut $2\pi^2$.

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Si l’on inverse le tore de Clifford, qui est symétrique, par rapport à un point hors de surface, on obtient un nouveau tore, cette fois asymétrique (figure de gauche).
Comme on l’a expliqué, ces deux tores ont la même énergie $\widetilde{W}=2\pi^2$. Ayant tous deux une seule anse, ils ont aussi la même énergie de Willmore $W$ (qui se trouve être aussi $2\pi^2$).

Attention ! Ce n’est pas l’énergie de Willmore $W$ qui est invariante par inversion, mais l’énergie $\widetilde{W}$. Il peut arriver que deux surfaces liées par une inversion aient la même énergie de Willmore (les sphères bleue et verte dans l’exemple 1), mais ceci est faux en général (dans l’exemple 1, $W(\text{sphere})=4\pi$ mais $W(\text{plan})=0$). En revanche, comme les énergies $W$ et $\widetilde{W}$ ne diffèrent que d’une constante, elles ont les mêmes minimiseurs. C’est pourquoi être surface de Willmore est une propriété préservée par inversion.

Nous pouvons donc maintenant fabriquer de nouvelles surfaces de Willmore : en inversant des surfaces minimales. En particulier, puisque le plan est une surface minimale et que la sphère ronde est la transformée du plan par inversion, il s’ensuit que les sphères rondes sont toutes des surfaces de Willmore (d’énergie $W=4\pi$). Rappelons qu’une sphère ronde de rayon $R$ n’est pas une surface minimale ; sa courbure moyenne vaut $H=\frac{1}{R}\ne0$. Il existe donc des surfaces de Willmore qui ne sont pas minimales.

En existe-t-il qui ne soient pas obtenues en transformant des surfaces minimales ? Cette question n’est pas simple, puisque les surfaces de Willmore sont définies de façon implicite et il est en général impossible d’en obtenir une description « simple ». Robert Bryant [Bry] a cependant montré que chaque surface de Willmore compacte et de genre 0 (n’ayant, comme la sphère, aucune anse) s’obtient en inversant une surface minimale. Les surfaces de Willmore de genre 1 (ayant une seule anse) offrent des exemples plus intéressants. Ulrich Pinkall [Pin], Dirk Ferus, et Franz Pedit [FePe] en ont construit qui ne s’obtiennent pas en inversant des surfaces minimales [7]. En voici quelques exemples :

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Les surfaces de genre 1 ont en outre donné lieu à une somme considérable de travaux visant à démontrer la conjecture de Willmore :

Théorème : Parmi les surfaces compactes sans bord de genre 1, c’est le tore de Clifford (décrit ci-dessus) et ses transformées (par translation, rotation, dilatation, et inversion) qui réalisent le minimum de l’énergie de Willmore (énergie $2\pi^2$).

Cette conjecture fut formulée en 1965 par Tom Willmore [Wil]. Ce n’est qu’en 2012 que Fernando Marques et André Neves en apportèrent la (longue) preuve [MaNe] à l’aide de plusieurs tours de force dont on ne pourrait fidèlement parler ici. En revanche, on arrive à démontrer au prix de quelques calculs que le tore de Clifford minimise l’énergie de Willmore dans la classe des tores symétriques obtenus en faisant tourner un cercle autour d’un axe. Pour ce faire, appliquant si nécessaire une dilatation, il suffit de considérer le tore obtenu par la rotation d’un cercle de rayon 1 autour d’un axe situé à une distance $a>1$ de son centre. Nous laissons aux lecteurs assidus le soin de vérifier que l’énergie de Willmore de ce tore est :
\[ W(T_a)\,=\,\dfrac{\pi^2a^2}{\sqrt{a^2-1}}\:, \]
dont le minimum est donc bien réalisé pour $a=\sqrt{2}$, qui correspond au tore de Clifford. On retrouve $W(\text{Clifford})=2\pi^2$.

A présent que la conjecture de Willmore, Saint Graal du sujet, a été établie, reste-t-il encore du grain à moudre au moulin Willmore ? Certainement ! Les questions fusent dans toutes les directions : dans les applications, on cherche à coupler l’énergie de Willmore à d’autres phénomènes physiques prenant par exemple en compte la dynamique des fluides qui s’exerce à l’intérieur et à l’extérieur des surfaces considérées. Il reste bien sûr à comprendre la conjecture de Willmore pour des surfaces non plus de $\mathbb{R}^3$ mais de $\mathbb{R}^{m>3}$ (on suppose en effet que le tore de Clifford continue d’être le minimiseur dans la classe des surfaces de genre 1 dans $\mathbb{R}^{m}$ pour tout $m>3$). Et que dire des analogues de la conjecture de Willmore pour des surfaces de genre plus grand que 1 ? La liste est longue...
Blaine Lawson et Rob Kusner [Kus] ont prédit que l’analogue du tore de Clifford en genre 2 est le « bouton » représenté ci-dessous avec quelques-unes de ses transformées conformes.

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[Ber]
D. Bernoulli, La 26ème lettre à Euler dans les Correspondence Mathématique et Physique, vol. 2, P. H. Fuss (Octobre 1742).
[Bla]
W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins relativitätstheorie III (1929).
[Bry]
R. Bryant, A duality theorem for Willmore surfaces, J. Diff. Geom. 20, no. 1 (1984) 23—53.
[Chl]
E. Chladni, Die Akustik, Leipzig (1802).
[Dah]
A. Dahan-Dalmédico, Mécanique et théorie des surfaces : les travaux
de Sophie Germain
, Hist. Math. 14 (1987), 347—365.
[Eul]
L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti, Additamentum 1 (1744). [
[FePe]
D. Ferus, F. Pedit, $S^1-$equivariant minimal tori in $S^4$ and $S^1-$equivariant Willmore tori in $S^3$, Math. Z. 204, no. 2 (1990), 269—282.
[Hel]
W. Helfrich, Elastic properties of lipid bilayers — theory and possible experiments, Zeitschrift für Naturforschung C, 28 (1973), 693—703.
[KaRu]
D. Katzman, J. Rubinstein, Method for the design of multifocal optical elements, United States Patent No. : US006302540B1 (Octobre 2001).
[Kus]
R. Kusner, Comparison surfaces for the Willmore problem, Pacific J. Math. 138, no. 2 (1989), 317—345.
[MaNe]
F. Marques, A. Neves, Min-max theory and the Willmore conjecture.
[MJSFB]
X. Michalet, F. Jülicher, B. Fourcade, U. Seifert, D. Bensimon, La physique des liposomes, La Recherche 269, vol. 25 (1994), 1012—1018.
[Pin]
U. Pinkall, Hopf tori in $S^3$, Invent. Math. 81, no. 2 (1985), 379—386.
[Tho]
G. Thomsen, Über konforme Geometrie I ; Grundlagen der konformen Flachentheorie, Ab. Math. Sem. Univ. Hamburg 3, no. 1 (1924) 31—56.
[Wil]
T. Willmore, Note on embedded surfaces, An. Sti. Univ.« Al. I. Cuza » Iasi Sect. I a Mat. (N.S.) 11B (1965) 493—496.

Post-scriptum :

L’auteur remercie les relecteurs Marie Lhuissier et Rémi Peyre pour leur lecture attentive et leurs suggestions.

Article édité par François Brunault

Notes

[1Pour approfondir, on pourra consulter l’article de Serge Cantat et de Luc Hillairet sur les figures de Chladni.

[2que Sophie Germain appelait « mon hypothèse », lui causa beaucoup de souci. Voir à ce sujet [Dah].

[3Voir ici pour plus de précisions sur la masse d’Hawking.

[4Le web compte plusieurs zoos spécialisés dans le recensement des surfaces minimales. En voici un.

[5Le genre d’une surface, c’est son nombre d’anses. Une balle et un oeuf sont de genre 0. Une bouée et un Paris-Brest (le gâteau, pas la course) sont de genre 1. L’âge d’airain de Rodin est de genre 2.

[6Cela s’appelle le théorème de Gauss-Bonnet dont l’énoncé et l’interprétation sont ici.

[7Le mathématicien Nick Schmitt de l’université de Tübingen a élevé la représentation des surfaces au rang d’art visuel. Son site web présente une galerie d’exemples dont quelques surfaces de Willmore intéressantes.

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Pour citer cet article :

Yann Bernard — «Autour des surfaces de Willmore» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

img_11342 - http://www.indiana.edu/ minimal/archive/
img_11348 - http://www.math.uni-tuebingen.de/user/nick/gallery/HopfTorus.html
img_11350 - http://www.chem.ucla.edu/ michalet/papers/lvmh/e-more.html
img_11372 - http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbure

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