Un défi par semaine

Avril 2015, 1er défi

Le 3 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 14 :

Si l’on place au hasard $3$ points sur un cercle, quelle est la probabilité qu’ils appartiennent tous les trois à un même demi-cercle ?

Solution du 4ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ $=180^\circ$.

Traçons le segment $[AC].$

JPEG - 25.3 ko

Nous avons les relations : $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\,\widehat{COB}$ et $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\,\widehat{AOD}$. Ainsi :

$\widehat{COB}+\widehat{AOD} = 2\left(\widehat{CAB}+\widehat{ACD}\right).$

Le triangle dont les sommets sont les points $A$, $C$ et le point d’intersection des cordes $[AB]$ et $[CD]$ étant rectangle, nous avons l’égalité $\widehat{CAB}+\widehat{ACD}=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Ainsi $\widehat{COB}+\widehat{AOD}=2\times 90^\circ = 180^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

  • Avril 2015, 1er défi

    le 3 avril 2015 à 09:07, par Daniate

    La probabilité est 0,75

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  • Avril 2015, 1er défi

    le 3 avril 2015 à 09:51, par André Perrenoud

    La probabilité est de 3/4.

    Justification.

    Soit phi l’angle entre les points A et B. (0 < phi < pi)

    La probabilité que phi soit compris entre a et a+da vaut p(a)=1/pi.

    Pour que A, B et C soient compris dans un demi cercle, il faut soit :

    a) que le point C tombe entre A et B ; probabilité phi/2pi ;

    b) que C soit à gauche de A ; probabilité (pi-a)/2pi ;

    c) que C soit à droite de B ; probabilité (pi-a)/2pi.

    En additionnant les probabilités des 3 cas : (2pi-a)/2pi.

    Multiplions par p(a) et intégrons de 0 à pi.

    On trouve 3/4.

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  • Avril 2015, 1er défi

    le 3 avril 2015 à 16:17, par Daniate

    Pour ma part, j’ai pris un cercle de périmètre 1. Le premier point A est placé n’importe où. A’ est le point diamétralement opposé. La probabilité que le deuxième point B soit en A (ou en A’) est nulle, B’ est le point diamétralement opposé à B. Je calcule q la proba de l’evt contraire : A,B et C ne sont pas dans le même demi-cercle si C est sur le petit arc A’B’, donc q=longueur de l’arc A’B’= longueur arc AB. Quand B varie de A à A’ la proba varie linéairement de 0 à 0,5 dont la moyenne est 0,25. La probabilité cherchée est 1-0,25=0,75.

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    • Avril 2015, 1er défi

      le 8 avril 2015 à 00:38, par Jérôme

      J’ai suivi exactement le même raisonnement que vous.

      La seule différence, c’est que je me suis dit que le premier point pouvait être placé à 0° (sur le cercle trigonométrique), car ça ne change en rien le problème de faire une rotation des trois points jusqu’à que l’un d’eux tombe à 0°. Je pensais que ça aiderait à simplifier le problème, puisque l’on passe de trois informations aléatoires à une déterministe et deux aléatoires, mais en fait non, ça ne simplifie pas le problème ni le raisonnement.

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  • Avril 2015, 1er défi

    le 6 avril 2015 à 23:29, par Daniate

    Le problème posé est équivalent à chercher la probabilité qu’un nombre choisi au hasard entre 0 et 1 soit supérieur à un nombre choisi au hasard entre 0 et 0,5. En généralisant de 0 à n et de 0 à p, p>n, on trouve une probabilité de 1-n/(2p). En posant n=0,5 et p=1 on retrouve 0,75.

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  • Avril 2015, 1er défi

    le 29 juin 2015 à 19:20, par Laurent

    Bonjour,
    A le premier point sur le cercle de centre O.
    Construisons les quadrants.
    P(B) soit dans le quadrant i = 1/4
    P(ABC dans le même demi cercle )=P(B et C dans les quadrants i et i ou i et i-1 ou i et i+1)= 1/16*3*4=3/4

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