Un défi par semaine

Avril 2015, 1er défi

El 3 abril 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 14 :

Si l’on place au hasard $3$ points sur un cercle, quelle est la probabilité qu’ils appartiennent tous les trois à un même demi-cercle ?

Solution du 4ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ $=180^\circ$.

Traçons le segment $[AC].$

JPEG - 25.3 KB

Nous avons les relations : $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\,\widehat{COB}$ et $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\,\widehat{AOD}$. Ainsi :

$\widehat{COB}+\widehat{AOD} = 2\left(\widehat{CAB}+\widehat{ACD}\right).$

Le triangle dont les sommets sont les points $A$, $C$ et le point d’intersection des cordes $[AB]$ et $[CD]$ étant rectangle, nous avons l’égalité $\widehat{CAB}+\widehat{ACD}=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Ainsi $\widehat{COB}+\widehat{AOD}=2\times 90^\circ = 180^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

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  • Avril 2015, 1er défi

    le 3 de abril de 2015 à 16:17, par Daniate

    Pour ma part, j’ai pris un cercle de périmètre 1. Le premier point A est placé n’importe où. A’ est le point diamétralement opposé. La probabilité que le deuxième point B soit en A (ou en A’) est nulle, B’ est le point diamétralement opposé à B. Je calcule q la proba de l’evt contraire: A,B et C ne sont pas dans le même demi-cercle si C est sur le petit arc A’B’, donc q=longueur de l’arc A’B’= longueur arc AB. Quand B varie de A à A’ la proba varie linéairement de 0 à 0,5 dont la moyenne est 0,25. La probabilité cherchée est 1-0,25=0,75.

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