Un défi par semaine

Avril 2015, 1er défi

Le 3 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 14 :

Si l’on place au hasard $3$ points sur un cercle, quelle est la probabilité qu’ils appartiennent tous les trois à un même demi-cercle ?

Solution du 4ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ $=180^\circ$.

Traçons le segment $[AC].$

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Nous avons les relations : $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\,\widehat{COB}$ et $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\,\widehat{AOD}$. Ainsi :

$\widehat{COB}+\widehat{AOD} = 2\left(\widehat{CAB}+\widehat{ACD}\right).$

Le triangle dont les sommets sont les points $A$, $C$ et le point d’intersection des cordes $[AB]$ et $[CD]$ étant rectangle, nous avons l’égalité $\widehat{CAB}+\widehat{ACD}=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Ainsi $\widehat{COB}+\widehat{AOD}=2\times 90^\circ = 180^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

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  • Avril 2015, 1er défi

    le 3 avril 2015 à 09:51, par André Perrenoud

    La probabilité est de 3/4.

    Justification.

    Soit phi l’angle entre les points A et B. (0 < phi < pi)

    La probabilité que phi soit compris entre a et a+da vaut p(a)=1/pi.

    Pour que A, B et C soient compris dans un demi cercle, il faut soit :

    a) que le point C tombe entre A et B ; probabilité phi/2pi ;

    b) que C soit à gauche de A ; probabilité (pi-a)/2pi ;

    c) que C soit à droite de B ; probabilité (pi-a)/2pi.

    En additionnant les probabilités des 3 cas : (2pi-a)/2pi.

    Multiplions par p(a) et intégrons de 0 à pi.

    On trouve 3/4.

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