Un défi par semaine

Avril 2015, 2e défi

Le 10 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

Trouver le plus petit nombre premier $p>2$ tel que $p^3+7p^2$ soit un carré.

Solution du 1er défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{3}{4}$.

Soient $A,B$ et $C$ ces trois points et $O$ le centre du cercle. Sans perte de généralité, supposons que le point $A$ est à l’extrémité droite du cercle. Plaçons le point $B$ sur $A$ et déplaçons-le sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : pour chaque position du point $B$, il est alors possible de définir la zone où doit se trouver le point $C$ pour que les trois points appartiennent à un même demi-cercle.

JPEG - 25.4 ko

Dans la suite, mesurons les angles dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et notons $x$ l’angle $\widehat{AOB.}$ Supposons que $x\le180^\circ$ et notons $A'$ et $B'$ les points diamétralement opposés à $A$ et $B$ respectivement. Il y a trois cas possibles pour le point $C$ :

  • soit $\widehat{AOC}\le180^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle supérieur d’extrémités $A$ et $A'$ ;
  • soit $180^\circ+x\le\widehat{AOC}< 360^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle contenant $C$ d’extrémités $B'$ et $B$ ;
  • soit $180^\circ<\widehat{AOC}<180^\circ+x$ et alors $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}>180^\circ$. Comme $\widehat{COA}+\widehat{AOC}=360^\circ$, on a aussi $\widehat{COA}+\widehat{AOB}>180^\circ$. Les trois points $A,B$ et $C$ ne peuvent donc appartenir à un même demi-cercle.

Observons que lorsque le point $B$ est diamétralement opposé au point $A$, peu importe où se situe le point $C$, ces trois points appartiennent à un même demi-cercle.

Lorsque $x\ge180^\circ$ on montre de la même manière que si $0\le\widehat{AOC}\le x-180^\circ$ ou $180^\circ\le\widehat{AOC}\le360^\circ$, alors les trois points $A,B$ et $C$ sont sur un même demi-cercle.

Représentons cela sur un carré où la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ est placée horizontalement et celle de l’angle $\widehat{AOC}$ est placée verticalement. La partie coloriée représente les valeurs des angles pour lesquelles les trois points appartiennent à un même demi-cercle.

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Par conséquent, la probabilité que les trois points soient sur un même demi-cercle est égale à la proportion de la partie coloriée dans le carré, c’est-à-dire $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

  • Avril 2015, 2ème défi

    le 10 avril 2015 à 08:25, par André Perrenoud

    Le plus petit nombre est p=29.

    29^2 *(29+7) = (29*6)^2

    Le nombre suivant est 137

    Bonne journée

    Répondre à ce message
    • Avril 2015, 2ème défi

      le 10 avril 2015 à 17:31, par ROUX

      Je trouve plus petit avec p=9.
      Et le suivant est 18.
      Non ? Parce que puisque p+7 doit être un carré, pourquoi commencer tout de suite à 36 et ne pas commencer à 16 qu’on fait suivre de 25 ?

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      • Avril 2015, 2ème défi

        le 10 avril 2015 à 18:04, par gedspilett

        Bonjour

        9 n’est pas premier !!!!!!

        Répondre à ce message
        • Avril 2015, 2ème défi

          le 10 avril 2015 à 18:08, par ROUX

          J’avais pas tout lu...

          Répondre à ce message
        • Avril 2015, 2ème défi

          le 11 avril 2015 à 12:23, par ROUX

          Donc, ok, mais, l’instant mathématique était de découvrir qu’il suffisait que (p+7) soit un carré.

          La contrainte de la primalité de p ne servait à rien du tout pour se faire plaisir dans ce défi...

          Répondre à ce message
          • Avril 2015, 2ème défi

            le 27 avril 2015 à 17:58, par Bobo

            Bonjour,

            C’est justement ce qui me semble être le plus compliqué dans ce défi... Qui n’est pas expliqué dans la solution.
            Quelqu’un peut m’éclairer ? Pourquoi il suffit que (p+7) soit un carré ?

            Merci !

            Répondre à ce message
            • Avril 2015, 2ème défi

              le 27 avril 2015 à 18:16, par André Perrenoud

              Soit N le nombre cherché.

              D’après l’énoncé, il faut que N = p^3 + 7*p^2

              En factorisant : N = (p+7)* p^2

              Si (p+7) est un carré, on peut écrire p+7 = m^2 avec m entier

              Donc N = m^2 *p^2 = (m*p)^2 est un carré.

              Répondre à ce message
              • Avril 2015, 2ème défi

                le 28 avril 2015 à 09:32, par Bobo

                Merci,

                Sauf erreur de ma part, ceci montre que si (p+7) est un carré, alors N est un carré.

                Mais ne faut-il pas montrer dans notre cas que si N est un carré, alors (p+7) est un carré ?

                Répondre à ce message
                • Avril 2015, 2ème défi

                  le 28 avril 2015 à 10:24, par André Perrenoud

                  Soit N=n^2 carré parfait avec n entier.

                  n^2 = p^2 * (p+7)

                  (n/p)^2 = p+7

                  (p+7) étant entier, n doit être divisible par p. Donc n/p = m entier et p+7 = m^2

                  En espérant que cette explication soit convaincante.

                  Répondre à ce message
  • Avril 2015, 2ème défi

    le 28 avril 2015 à 12:08, par Bobo

    Merci pour cette réponse, c’est bien ce point qui me bloquait :
    (n/p)^2 étant entier, n/p est entier.

    Pardonnez mon manque de connaissances sur le sujet !

    Répondre à ce message

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