Un défi par semaine
Avril 2015, 2e défi
Le 10 avril 2015 Voir les commentaires (10)
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 15 :
Trouver le plus petit nombre premier $p>2$ tel que $p^3+7p^2$ soit un carré.
Solution du 1er défi d’Avril :
La réponse est $\frac{3}{4}$.
Soient $A,B$ et $C$ ces trois points et $O$ le centre du cercle. Sans perte de généralité, supposons que le point $A$ est à l’extrémité droite du cercle. Plaçons le point $B$ sur $A$ et déplaçons-le sur le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : pour chaque position du point $B$, il est alors possible de définir la zone où doit se trouver le point $C$ pour que les trois points appartiennent à un même demi-cercle.
Dans la suite, mesurons les angles dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et notons $x$ l’angle $\widehat{AOB.}$ Supposons que $x\le180^\circ$ et notons $A'$ et $B'$ les points diamétralement opposés à $A$ et $B$ respectivement. Il y a trois cas possibles pour le point $C$ :
- soit $\widehat{AOC}\le180^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle supérieur d’extrémités $A$ et $A'$ ;
- soit $180^\circ+x\le\widehat{AOC}< 360^\circ$ et alors les points $A,B$ et $C$ appartiennent au demi-cercle contenant $C$ d’extrémités $B'$ et $B$ ;
- soit $180^\circ<\widehat{AOC}<180^\circ+x$ et alors $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}>180^\circ$. Comme $\widehat{COA}+\widehat{AOC}=360^\circ$, on a aussi $\widehat{COA}+\widehat{AOB}>180^\circ$. Les trois points $A,B$ et $C$ ne peuvent donc appartenir à un même demi-cercle.
Observons que lorsque le point $B$ est diamétralement opposé au point $A$, peu importe où se situe le point $C$, ces trois points appartiennent à un même demi-cercle.
Lorsque $x\ge180^\circ$ on montre de la même manière que si $0\le\widehat{AOC}\le x-180^\circ$ ou $180^\circ\le\widehat{AOC}\le360^\circ$, alors les trois points $A,B$ et $C$ sont sur un même demi-cercle.
Représentons cela sur un carré où la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ est placée horizontalement et celle de l’angle $\widehat{AOC}$ est placée verticalement. La partie coloriée représente les valeurs des angles pour lesquelles les trois points appartiennent à un même demi-cercle.
Par conséquent, la probabilité que les trois points soient sur un même demi-cercle est égale à la proportion de la partie coloriée dans le carré, c’est-à-dire $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Avril 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
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