Un défi par semaine

Avril 2015, 3e défi

Le 17 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (22)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Jean souhaite faire des briques en forme de parallélépipèdes, toutes différentes et telles que les mesures de leurs arêtes soient des nombres entiers inférieurs ou égaux à $7$. Combien de briques pourra faire Jean ?

Solution du 2ème défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $p=29$.

Comme $p^3+7p^2=p^2(p+7)$, il suffit de déterminer le plus petit nombre premier $p>2$ tel que $p+7$ soit un carré. C’est-à-dire, tel que $p+7=n^2$ pour un entier positif $n$. Puisque $n^2-7$ doit être un nombre premier supérieur à $2$, $n$ doit être supérieur à $3$. Si $n=4$, on obtient $4^2-7=9$ et $9$ n’est pas premier. Si $n=5$, on obtient $5^2-7=18$ et $18$ n’est pas premier. Si $n=6$, on obtient $6^2-7=29$ et $29$ est un nombre premier. Ainsi, le nombre premier recherché est $p=29$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2015, 3ème défi

    le 17 avril 2015 à 23:28, par Idéophage

    Bonjour,

    J’ai encore une réponse différente qui est 119.

    On peut encore utiliser le lemme de Burnside comme pour le 2ème défi de Mars (encore avec Jean) : $\frac{7^3 + 7 + 7}{3} = 119$. On peut aussi faire comme Daniate mais par contre il faut compter en double quand les trois côtés ont trois tailles différentes car on peut tourner dans deux sens différents lors de l’affectation des tailles. Cela donne $\binom{7}{1} + 2 \times \binom{7}{2} + 2 \times \binom{7}{3} = 119$.

    On peut généraliser les deux méthodes à plus de dimensions, mais je ne sais pas si ça intéresse quelqu’un.

    On peut retrouver les coefficients de la méthode de Daniate avec la méthode avec le lemme de Burnside (et inversement, il s’agit d’écrire un polynôme dans deux bases différentes), peut-être que ça s’interprète ou mène à quelque chose…

    Répondre à ce message

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