Un défi par semaine

Avril 2015, 3e défi

Le 17 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (22)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Jean souhaite faire des briques en forme de parallélépipèdes, toutes différentes et telles que les mesures de leurs arêtes soient des nombres entiers inférieurs ou égaux à $7$. Combien de briques pourra faire Jean ?

Solution du 2ème défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $p=29$.

Comme $p^3+7p^2=p^2(p+7)$, il suffit de déterminer le plus petit nombre premier $p>2$ tel que $p+7$ soit un carré. C’est-à-dire, tel que $p+7=n^2$ pour un entier positif $n$. Puisque $n^2-7$ doit être un nombre premier supérieur à $2$, $n$ doit être supérieur à $3$. Si $n=4$, on obtient $4^2-7=9$ et $9$ n’est pas premier. Si $n=5$, on obtient $5^2-7=18$ et $18$ n’est pas premier. Si $n=6$, on obtient $6^2-7=29$ et $29$ est un nombre premier. Ainsi, le nombre premier recherché est $p=29$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

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  • Avril 2015, 3ème défi

    le 18 avril 2015 à 14:46, par Idéophage

    Je crois que l’on n’a pas compris l’énoncé de la même manière…

    On veut des briques « toutes différentes ». Ce n’est pas précis, mais j’imagine que ça veut dire que l’on considère que deux briques sont identiques si on peut passer de l’une à l’autre avec une rotation.

    On a trois axes auxquels il faut affecter des tailles : x, y et z. Prenons 3 tailles différentes à la place de 7. Si toutes les tailles affectées sont différentes, on peut faire (x,y,z) ← (1,2,3) ou (1,3,2) ou (2,1,3) ou (2,3,1) ou (3,1,2) ou (3,2,1). Mais on peut tourner les briques et transformer la brique (a,b,c) en (c,a,b) ou (b,c,a) avec une rotation autour de l’axe passant par l’origine et (1,1,1). On se retrouve alors avec deux formes différentes, (1,2,3) et (1,3,2) et non une seule (cela correspond à tourner dans un sens direct ou un sens indirect). Chaque sélection de trois tailles différentes va produire deux briques possibles.

    On se restreint aux briques orientées selon les axes, donc on restreint nos transformations permises à celles qui envoient chaque axe sur un autre axe et dans le même sens. Il y a trois transformations qui conviennent : soit on ne fait rien, soit on fait un tiers de tour dans un sens autour de l’axe passant par l’origine et (1,1,1), soit on fait un tiers de tour dans l’autre sens.

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