Un défi par semaine

Avril 2015, 4e défi

Le 24 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Un point $P$ est à l’intérieur d’un triangle équilatéral $ABC$. Soient $Q$, $R$ et $S$ les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés $[AB], [BC]$ et $[AC]$ et passant par $P$. Si $PQ = 1$ cm, $PR =2$ cm et $PS = 3$ cm, combien mesure un côté du triangle $ABC$ ?

Solution du 3ème défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $84$ briques.

Les longueurs des arêtes sont trois nombres entre $1$ et $7$. Ainsi, pour savoir combien de briques peut faire Jean, il faut compter les triplets non ordonnés de nombres $(a,b,c)$ tels que tous soient inférieurs ou égaux à $7$.

Examinons chaque cas. Si $a=b=c$ on a 7 triplets différents, un pour chaque valeur possible. Supposons maintenant que deux des nombres dans le triplet soient égaux. Observons que pour chacune des 7 valeurs possibles pour cette paire de nombres, il y a 6 choix possibles pour la troisième longueur. Alors on a $7\times 6=42$ triplets avec exactement deux nombres égaux.

Il nous reste à compter le nombre de triplets où les trois longueurs sont distinctes. Il y a $7\times 6\times 5=210$ triplets ordonnés de nombres distincts et il faut diviser par le nombre de fois qu’un triplet non ordonné est compté. Nous avons 6 ordres possibles pour chaque triplet, donc au total nous avons $\frac{210}{6}=35$ triplets non ordonnés de nombres distincts.

Par conséquent Jean pourra faire $7+42+35=84$ briques différentes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2015, 4ème défi

    le 24 avril 2015 à 07:18, par Idéophage

    La somme des trois distances est invariante (les distances signées : si on sort du triangle, il faut compter en négatif certaines longueurs). Ainsi, on peut placer le point $P$ sur un sommet du triangle et la somme des trois distances sera $6$. Comme deux de ces distances seront nulles, la troisième vaudra $6$ et sera une hauteur du triangle, hauteur qui vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}$ fois le côté du triangle. Ainsi, le côté du triangle est $6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

    Répondre à ce message

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