Un défi par semaine

Avril 2015, 4e défi

Le 24 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Un point $P$ est à l’intérieur d’un triangle équilatéral $ABC$. Soient $Q$, $R$ et $S$ les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés $[AB], [BC]$ et $[AC]$ et passant par $P$. Si $PQ = 1$ cm, $PR =2$ cm et $PS = 3$ cm, combien mesure un côté du triangle $ABC$ ?

Solution du 3ème défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $84$ briques.

Les longueurs des arêtes sont trois nombres entre $1$ et $7$. Ainsi, pour savoir combien de briques peut faire Jean, il faut compter les triplets non ordonnés de nombres $(a,b,c)$ tels que tous soient inférieurs ou égaux à $7$.

Examinons chaque cas. Si $a=b=c$ on a 7 triplets différents, un pour chaque valeur possible. Supposons maintenant que deux des nombres dans le triplet soient égaux. Observons que pour chacune des 7 valeurs possibles pour cette paire de nombres, il y a 6 choix possibles pour la troisième longueur. Alors on a $7\times 6=42$ triplets avec exactement deux nombres égaux.

Il nous reste à compter le nombre de triplets où les trois longueurs sont distinctes. Il y a $7\times 6\times 5=210$ triplets ordonnés de nombres distincts et il faut diviser par le nombre de fois qu’un triplet non ordonné est compté. Nous avons 6 ordres possibles pour chaque triplet, donc au total nous avons $\frac{210}{6}=35$ triplets non ordonnés de nombres distincts.

Par conséquent Jean pourra faire $7+42+35=84$ briques différentes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Avril 2015, 4ème défi

    le 27 avril 2015 à 19:18, par Idéophage

    Je ne comprends pas bien ce que vous dites. Quand on parle des arêtes, il ne s’agit pas des diagonales mais des arêtes. Si on s’autorise les parallélépipèdes non rectangles, il y a une infinité de solutions.

    On peut modifier l’énigme et considérer les diagonales au lieu des arêtes (et s’autoriser les non rectangles), mais du coup, tout devient plus compliqué. Peut-être que l’on peut trouver un moyen intelligent de résoudre cette nouvelle énigme sans trop « bruteforcer ».

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?