Un défi par semaine

Avril 2015, 4e défi

Le 24 avril 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Un point $P$ est à l’intérieur d’un triangle équilatéral $ABC$. Soient $Q$, $R$ et $S$ les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés $[AB], [BC]$ et $[AC]$ et passant par $P$. Si $PQ = 1$ cm, $PR =2$ cm et $PS = 3$ cm, combien mesure un côté du triangle $ABC$ ?

Solution du 3ème défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $84$ briques.

Les longueurs des arêtes sont trois nombres entre $1$ et $7$. Ainsi, pour savoir combien de briques peut faire Jean, il faut compter les triplets non ordonnés de nombres $(a,b,c)$ tels que tous soient inférieurs ou égaux à $7$.

Examinons chaque cas. Si $a=b=c$ on a 7 triplets différents, un pour chaque valeur possible. Supposons maintenant que deux des nombres dans le triplet soient égaux. Observons que pour chacune des 7 valeurs possibles pour cette paire de nombres, il y a 6 choix possibles pour la troisième longueur. Alors on a $7\times 6=42$ triplets avec exactement deux nombres égaux.

Il nous reste à compter le nombre de triplets où les trois longueurs sont distinctes. Il y a $7\times 6\times 5=210$ triplets ordonnés de nombres distincts et il faut diviser par le nombre de fois qu’un triplet non ordonné est compté. Nous avons 6 ordres possibles pour chaque triplet, donc au total nous avons $\frac{210}{6}=35$ triplets non ordonnés de nombres distincts.

Par conséquent Jean pourra faire $7+42+35=84$ briques différentes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

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  • Avril 2015, 4ème défi

    le 30 avril 2015 à 15:53, par Idéophage

    « je ne comprends pas pourquoi vous parler de diagonales je parle d’arête »

    Désolé, je me suis mal exprimé. J’ai essayé de comprendre pourquoi vous parlez de triplets pythagoriciens (« arete = 5 car 3^2+4^2=5^2 »). Je me suis dit que ça avait peut-être quelque chose à voir avec la diagonale d’un rectangle et ses deux côtés qui doivent être des triplets pythagoriciens si on veut que les trois soient entiers. Mais ce n’est pas une interprétation cohérente de ce que vous dites, désolé.

    Donc, pourquoi parlez-vous de triplet pythagoricien ? D’où vient ce 21 ? Est-ce $\binom{7}{2}$, par exemple ?

    Ensuite, pour ce qui est de l’infinité des solutions si on s’autorise les parallélépipèdes non rectangles, on peut considérer la famille suivante de parallélépipèdes. Prenons comme base un losange dont les quatre côtés mesurent 1. Il y a une infinité de tels losanges (en faisant varier les angles entre les côtés). On translate ce losange de 1 perpendiculairement au plan qui le porte pour obtenir les quatre autre sommets de notre parallélépipède. Il y a donc une infinité de parallélépipèdes non rectangles puisqu’il y a une infinité de choix pour le losange.

    « avant tout c’est un jeu il n’y a pas de concours ni recherche de la petite bête »

    Je n’ai pas l’impression de chercher la petite bête. J’ai essayé de comprendre ce que vous dites et je ne vois toujours pas.

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