Avril 2016, 1er défi

Le 1er avril 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 14 :

Soit $ABCD$ un rectangle et soit $E$ un point sur $[CD]$. On sait que l’aire du triangle $ADE$ est égale à un cinquième de l’aire du trapèze $ABCE$.
Quel est le rapport entre les longueurs $CD$ et $ED$ ?

Solution du 4e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est oui.

Parmi les $16$ nombres écrits, il y en a au moins $8$ qui sont multiples de $2$ et au moins $3$ qui sont multiples de $5$, donc le nombre obtenu par Olga est un multiple de $2^8\times 5^3 = 32\,000$ et donc a fortiori de $1000$. Par conséquent ses trois derniers chiffres sont des zéros.

Si les nombres inscrits au tableau sont $a$, $a+1$, $a+2, \dots, a+15$, Ivan obtient pour leur somme le nombre $a + (a+1)+ \cdots +(a+15)=8(2a+15)$. Donc si le nombre $2a+15$ est multiple de $125$, le nombre d’Ivan sera multiple de $1000$ et ses trois derniers chiffres seront $000$. C’est possible avec par exemple $a=55$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Avril 2016, 1er défi

le 1er avril 2016 à 09:12, par Al_louarn

On trace la parallèle en $E$ à $AD$ et $BC$. Elle coupe $AB$ en $F$, à angle droit. Le trapèze $ABCE$ est donc composé du triangle $AFE$ et du rectangle $FBCE$.
On sait que $aire(ABCE)=5*aire(ADE)$, donc $aire(AFE)+aire(FBCE)=5*aire(ADE)$.
Par ailleurs $AFED$ est un rectangle formé des 2 triangles identiques $AFE$ et $ADE$, donc $aire(AFE)+aire(FBCE)=3*aire(AFE)+2*aire(ADE)$.
Ce qui donne $aire(FBCE)=2*aire(AFE)+2*aire(ADE)=2*aire(ADFE)$, d’où $FE*EC=2*FE*ED$ et finalement $EC=2*ED$, donc $ED$ est le tiers de $CD$.
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Avril 2016, 1er défi

le 1er avril 2016 à 22:05, par ROUX

On trace la parallèle à (AD) passant par E et qui coupe (AB) en F.
Puisque le triangle ADE a une aire A, le trapèze ABEC a une aire de 5A, le triangle AFE a une aire de A et donc le rectangle BFCE a une aire de 4A, le rectangle AFED a une aire de 2A et le rectangle ABCD a une aire de 6A.
CD.AD=6A et ED.AD=2A donc CD/ED=3.
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