Un défi par semaine

Avril 2016, 2e défi

8 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

Les faces d’un cube dont les arêtes sont de longueur $a$, les faces d’un tétraèdre régulier dont les arêtes sont de longueur $b$ et les faces d’un octaèdre régulier dont les arêtes sont de longueur $c$ ont la même aire. Calculer le rapport $\dfrac{bc}{a^2}$.

Solution du 1er défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{CD}{ED}=3$.

On a

$\mbox{aire}(ABCD) = \mbox{aire}(ADE) + \mbox{aire}(ABCE) = 6\times \mbox{aire}(ADE),$

et d’autre part on a

$\mbox{aire}(ABCD) = AD \times CD$

$2 \times \mbox{aire}(ADE) = AD \times ED.$

En prenant le rapport des deux égalités, on obtient

$\frac{CD}{ED}=\frac{\mbox{aire}(ABCD)}{2 \times \mbox{aire}(ADE)} = \frac{6\times \mbox{aire}(ADE)}{2\times \mbox{aire}(ADE)} = 3.$

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Avril 2016, 2e défi

    le 8 avril à 08:44, par ROUX

    Le carré a 6 faces ; on a 6*a^2=S ou a^(-2)=6*S^(-1).
    Le tétraèdre a 4 faces ; on a 4*[3^(1/2)/4*b^2]=S ou b^2=S*3^(-1/2).
    L’octaèdre a 8 faces ; on a 8*[3^(1/2)/4*c^2]=S ou c^2=S*4^(-1)*3^(-1/2).
    Alors b^2*c^2*a^(-4)=S^2*3^(-1)*4^(-1)*36*S^(-2)=36/12=4*9/(4*3)=3
    bc/a^2=3^(1/2).
    Racine carrée de trois.

    Répondre à ce message
    • Avril 2016, 2e défi

      le 8 avril à 19:09, par ROUX

      Somme des 6 faces du carré = somme des 4 faces du tétraèdre = somme des 8 faces de l’octaèdre = S.

      Répondre à ce message
  • Avril 2016, 2e défi

    le 8 avril à 10:00, par Al_louarn

    Les faces du cube sont des carrés d’aire $a^2$.
    Les faces du tétraèdre régulier et de l’octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux, de même aire donc de même côté : $b=c$.
    Cette aire est $\frac{hb}{2}$, où $h$ est la longueur d’une hauteur de triangle.
    En traçant une de ces hauteurs on obtient deux triangles rectangles de petits côtés $h$, $\frac{b}{2}$, et d’hypothénuse $b$. Le théorème de Pythagore donne alors $b^2=h^2+(\frac{b}{2})^2$.
    D’où l’on tire $h=\frac{\sqrt{3}}{2}b$, puis $\frac{hb}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$.
    Donc $a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$, et la réponse est $\frac{bc}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{\sqrt{3}}$.

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    • Avril 2016, 2e défi

      le 8 avril à 19:11, par ROUX

      Surface de 1 face du carré = surface de 1 face du tétraèdre = surface de 1 face de l’octaèdre.

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  • Avril 2016, 2e défi

    le 8 avril à 11:40, par jls666

    Toutes les variables sont strictement positives.
    Pour les aires voir :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9tra%C3%A8dre_r%C3%A9gulier
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Octa%C3%A8dre_r%C3%A9gulier

    Aire du cube A=6a² --------------------------------------> a²=A/6
    Aire du tétraèdre régulier A=sqr(3)b² -------------> b=sqr( A/sqr(3) ) = sqr(A)/sqr(sqr(3))
    Aire de l’octaèdre régulier A=2sqr(3)c² -----------> c= sqr( A/(2sqr(3)) ) = sqr(A)/ (sqr(sqr(3))sqr(2))

    bc/a² = [( sqr(A) sqr(A) )/ ((sqr(sqr(3)) sqr(sqr(3))sqr(2))) ] / [ A/6 ] = 6/(sqr(3)sqr(2))=sqr(3)sqr(2)

    bc/a² = sqr(3)sqr(2)

    Répondre à ce message
    • Avril 2016, 2e défi

      le 8 avril à 19:15, par ROUX

      Somme des 6 faces du carré = somme des 4 faces du tétraèdre = somme des 8 faces de l’octaèdre = S mais sans mon erreur de calcul ;) !

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  • Avril 2016, 2e défi

    le 8 avril à 11:59, par Elrigo

    Il y a deux manières de comprendre l’énoncé, dirait-on.

    Lorsqu’on dit que les faces de ces solides ont la même aire :

    • veut-on dire que chaque face a la même aire que chaque autre ?
    • ou veut-on dire que la somme des aires des faces de chaque solide est égale ?
    Répondre à ce message
  • Avril 2016, 2e défi

    le 8 avril à 18:16, par ROUX

    Ouah !!!
    Trois résultats différents !!!

    Répondre à ce message
    • Avril 2016, 2e défi

      le 8 avril à 19:51, par Daniate

      Le sujet laisse un doute, mais il est vrai que dans le cas d’une seule face il y aurait certainement le mot « chaque » .

      A voir l’un de vos messages vous avez corrigé 8/4=2 pour l’octaèdre. Une étourderie qui vous fait rater la racine carrée de 6 de bon matin.

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      • Avril 2016, 2e défi

        le 8 avril à 23:48, par ROUX

        Eh oui...J’ai effectivement fini par me résoudre à admettre que 8/4=2 et pas 4  ;) !!!
        Je souris encore quelques minutes après la lecture de votre message :)...

        Répondre à ce message
  • Avril 2016, 2e défi

    le 8 avril à 19:51, par jls666

    Oui ! Au moins deux sont faux, si ce n’est 3...

    Répondre à ce message
    • Avril 2016, 2e défi

      le 8 avril à 23:50, par ROUX

      Ni deux, ni trois mais quatre. C’est quatre, qui est faux  ;)...

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  • Avril 2016, 2e défi

    le 9 avril à 18:21, par Daniate

    Solution peut-être plus rapide. Faute de maîtrise de certains langages je note r(x) la fonction qui à tout x >=0 associe sa racine carrée.
    Les égalité s’écrivent : 6a² = b²r(3) = 2c²r(3) . Des 2 derniers membres on tire b = cr(2) et donc bc = c²r(2).
    L’égalité entre 1 et 3 donne a² = c²/r(3) d’où bc/a² = c²r(2)/(c²/r(3)) = r(2)r(3) = r(6)

    Répondre à ce message

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