Un défi par semaine

Avril 2016, 2e défi

Le 8 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

Les faces d’un cube dont les arêtes sont de longueur $a$, les faces d’un tétraèdre régulier dont les arêtes sont de longueur $b$ et les faces d’un octaèdre régulier dont les arêtes sont de longueur $c$ ont la même aire. Calculer le rapport $\dfrac{bc}{a^2}$.

Solution du 1er défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{CD}{ED}=3$.

On a

$\mbox{aire}(ABCD) = \mbox{aire}(ADE) + \mbox{aire}(ABCE) = 6\times \mbox{aire}(ADE),$

et d’autre part on a

$\mbox{aire}(ABCD) = AD \times CD$

$2 \times \mbox{aire}(ADE) = AD \times ED.$

En prenant le rapport des deux égalités, on obtient

$\frac{CD}{ED}=\frac{\mbox{aire}(ABCD)}{2 \times \mbox{aire}(ADE)} = \frac{6\times \mbox{aire}(ADE)}{2\times \mbox{aire}(ADE)} = 3.$

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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