Un défi par semaine

Avril 2016, 3e défi

Le 15 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Est-il possible d’écrire le nombre

$1^2+2^2+3^2+\cdots +12^2$

comme la somme des carrés de $11$ nombres entiers distincts ?

Solution du 2e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Les faces du cube sont des carrés, leur aire vaut donc $a^2$, et l’aire totale du cube est $6a^2$.

Le tétraèdre régulier est formé de quatre triangles équilatéraux.
À l’aide du théorème de Pythagore, on voit que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $b$ vaut $\frac{\sqrt{3}b}{2}$, et donc son aire $\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$. Par conséquent l’aire du tétraèdre est $4\times \frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\sqrt{3}b^2$.

Enfin l’octaèdre régulier est formé de huit triangles équilatéraux de côté $c$, donc son aire vaut $8\times \frac{\sqrt{3}c^2}{4}=2 \sqrt{3} c^2$.

Comme les trois solides ont la même aire, on a

$6 a^2 = \sqrt{3}b^2 = 2\sqrt{3}c^2,$

d’où l’on déduit

$(6a^2)^2 = \left (\sqrt{3}b^2\right )\left ( 2\sqrt{3}c^2\right )$

$36 a^4 = 6 b^2c^2,$

et donc $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Avril 2016, 3e défi

    le 17 avril 2016 à 11:55, par Al_louarn

    Ce qui nous fait $2$ solutions. Y en a-t-il d’autres ? Oui ! Mais une seule. Le problème se ramène à trouver une égalité entre :

    • la somme des carrés de $n+1$ nombres $\leq 12$
    • la somme des carrés de $n$ nombres $> 12$

    Le cas $n=1$ correspond aux triplets pythagoriciens : $x^2+y^2=z^2$.
    Pour trouver toutes les solutions on parcourt la liste des triplets primitifs (merci Wikipedia), çàd tels que $x, y, z$ sont premiers entre eux, et on cherche les facteurs $k \geq 1$ tels que $kx < ky \leq 12 < kz$.
    Ceci entraîne que $y \leq 12$, et alors les seuls triplets primitifs acceptables sont le fameux $(3,4,5)$ de votre tonton plâtrier, et $(5,12,13)$.

    Pour $(3,4,5)$ vous avez trouvé l’unique solution $k=3$. En effet :
    $k \leq 2$ est trop petit car alors $kz \leq 10 < 12$
    $k \geq 4$ est trop grand car alors $ky \geq 16 > 12$

    Pour $(5,12,13)$ l’unique solution est bien sûr $k=1$ car au-delà $ky > 12$.

    Passons maintenant au cas $n \geq 2$.
    Notons $P$ la somme des $n+1$ petits carrés et $G$ la somme des $n$ grands carrés. Alors nous avons :
    $P \leq Pmax(n)=(12-n)^2+...+(12-1)^2+12^2$
    $G \geq Gmin(n)=(12+n)^2+...+(12+1)^2$
    Or il se trouve que par miracle $Pmax(2)=(12-2)^2+(12-1)^2+12^2=365=(12+2)^2+(12+1)^2=Gmin(2)$, ce qui nous donne d’un seul coup :

    • une troisième solution
    • une relation amusante entre le nombre de mois et le nombre de jours de l’année !
    • la preuve qu’il n’y a pas d’autre solution
      En effet :
    • pour $n=2$, tout autre choix de nombres donnera $P < G$
    • pour $n \geq 3$, nous avons $Pmax(n) < Gmin(n)$

    En conclusion, il y a exactement $3$ façons d’écrire la somme des $12$ premiers carrés en somme de $11$ carrés distincts, grâce aux égalités suivantes :
    $9^2+12^2=15^2$
    $5^2+12^2=13^2$
    $10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$

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