Un défi par semaine

Avril 2016, 4e défi

22 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Une suite de nombres commence par deux fois le nombre $2$, puis chaque terme est le produit des deux précédents. Quel est le seizième nombre de la suite ?

Solution du 3e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est oui.

Une façon de le faire serait de remplacer deux termes dans la somme $1^2+2^2+3^2+\cdots +12^2$ par un seul nombre entier au carré.
Or comme $5^2+12^2=13^2$ on a

$1^2+2^2+3^2+\cdots+12^2=1^2+2^2+3^2+4^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+13^2.$

C’est donc possible.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Avril 2016, 4e défi

    le 22 avril à 08:01, par zgreudz

    Du fait des valeurs des termes de rang 1 et 2 tous les les termes sont des puissances de 2. Et par définition la puissance du terme de rang n est la somme de celle du terme de rang n-1 et de celle du terme de rang n-2. Les puissances de 2 des termes suivent donc une suite de Fibonacci. En regardant un peu les premières valeurs de ces puissances,:1, 1,2,3,5,8,13,...on voit que le terme de rang n est exactement 2^F(n). Donc le seizième nombre est 2^987.

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    • Avril 2016, 4e défi

      le 23 avril à 18:42, par Idéophage

      Une autre manière de voir la même chose : on considère le logarithme des termes de la suite, ça devient la suite de Fibonacci, puis on reprend l’exponentielle (conjugaison).

      Répondre à ce message
      • Avril 2016, 4e défi

        le 25 avril à 13:55, par Manchego

        Je vois le défi toutes les lundi et, ..., toujours j’arrive trop tard :).
        En tout cas c’est un plaisir.
        Je l’avais fait avec des logarithmes.

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  • Avril 2016, 4e défi

    le 27 avril à 01:08, par richecoeur

    Si considère la suite u(n) définie dans l’énoncé on peut considérer la suite quotient v(n) = u(n+1)/u(n).
    v(1)=1 ; v(2)=2 ; v(3)=2 ; v(4) =2^2 et v(15)=2^(F(14)).

    or le produit des v(n) de 1 à 15 vaut u(16)/u(1) et aussi 2^( somme des F(n) de 0 à 14).

    on trouve le résultat u(16) = 2^ ((somme des F(n) de 0 à 14) +1)=2^987.

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