Un défi par semaine

Avril 2016, 5e défi

Le 29 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour quels nombres entiers positifs $n$ le nombre $3^n-2n-1$ est-il divisible par $4$ ?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $2^{987}$.

Soient $x_1, x_2, \dots, x_{16}, \dots$ les nombres de la suite. On sait que $x_1=x_2=2$, et donc $x_3= 2\times 2= 2^2$, $x_4 = 2\times 2^2 = 2^3$, $x_5 = 2^2\times 2^3 = 2^5$, $x_6 = 2^3\times 2^5 = 2^8$. On observe que les exposants de la suite correspondent aux nombres de Fibonacci, c’est-à-dire que chaque exposant est la somme des deux exposants précédents. On a alors $x_7= 2^{13}$, $x_8= 2^{21}$, $x_9= 2^{34}$, $x_{10}= 2^{55}$, $x_{11}= 2^{89}$, $x_{12}= 2^{144}, x_{13}= 2^{233}, x_{14}=2^{377}, x_{15}=2^{610}$ et enfin $x_{16}=2^{987}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2016, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Avril 2016, 5e défi

    le 29 avril à 06:20, par Elrigo

    En développant 3^n = (4-1)^n avec la formule du binôme de Newton, on détermine la réponse.

    Répondre à ce message
    • Avril 2016, 5e défi

      le 29 avril à 08:41, par Al_louarn

      Très élégant j’aime bien :-)

      On peut aussi procéder par récurrence :
      Posons $u(n)=3^n-2n-1$
      Alors $u(n+1)=3\times3^n-2(n+1)-1$
      $u(n+1)=2\times 3^n -4n +4n + 3^n -2n-2-1$
      $u(n+1)=2(3^n -2n -1) +4n + 3^n -2n-1$
      $u(n+1)=3u(n)+4n$.
      Donc si $u(n)$ est multiple de $4$ alors $u(n+1)$ l’est aussi.
      Et comme $u(0)=0$ est multiple de $4$ on en déduit que $u(n)$ l’est pour tout entier $n$.

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    • Avril 2016, 5e défi

      le 29 avril à 09:38, par Daniate

      Aussi astucieux que matinal !

      La factorisation de 3^n-1, par exemple en utilisant la formule de la somme d’ une suite géométrique, permet également de conclure.

      Répondre à ce message
  • Avril 2016, 5e défi

    le 1er mai à 17:52, par Celem Mene

    Pour tous les n entiers positifs, le nombre 3^n - 2n - 1 est divisible par 4.

    En effet, 3^n mod 4 égale 1 pour les n pairs et 3 pour les n impairs.

    Lorsque, pour le n pairs, on multiplie n par 2 (2n), on ajoute un multiple de 4 sans effets sur le résultat. Ne reste plus qu’à soustraire 1 du reste identique.

    Soit pour n pair (2p) :
    3^2p mod 4 = 1
    (1 - 2(2p) - 1) mod 4 = 0

    Pour les n impairs, la soustraction de 1 laisse un résultat de 2, auquel on va soustraire un nombre pair (2n = 2p). Or, tout nombre impair multiplié par deux, laisse un modulo 4 de 2. Que l’on va soustraire de 2.

    Soit pour n impair (2p - 1) :
    3^(2p-1) mod 4 = 3
    (3 - 2(2p-1) - 1) mod 4 = 0

    Je ne suis pas mathématicien, pardonnez donc s.v.p. les inexactitudes presque certaines.

    Meilleures salutations.

    Répondre à ce message

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