Un défi par semaine

Avril 2016, 5e défi

El 29 abril 2016  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour quels nombres entiers positifs $n$ le nombre $3^n-2n-1$ est-il divisible par $4$?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $2^{987}$.

Soient $x_1, x_2, \dots, x_{16}, \dots$ les nombres de la suite. On sait que $x_1=x_2=2$, et donc $x_3= 2\times 2= 2^2$, $x_4 = 2\times 2^2 = 2^3$, $x_5 = 2^2\times 2^3 = 2^5$, $x_6 = 2^3\times 2^5 = 2^8$. On observe que les exposants de la suite correspondent aux nombres de Fibonacci, c’est-à-dire que chaque exposant est la somme des deux exposants précédents. On a alors $x_7= 2^{13}$, $x_8= 2^{21}$, $x_9= 2^{34}$, $x_{10}= 2^{55}$, $x_{11}= 2^{89}$, $x_{12}= 2^{144}, x_{13}= 2^{233}, x_{14}=2^{377}, x_{15}=2^{610}$ et enfin $x_{16}=2^{987}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2016, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Avril 2016, 5e défi

    le 29 de abril de 2016 à 08:41, par Al_louarn

    Très élégant j’aime bien :-)

    On peut aussi procéder par récurrence :
    Posons $u(n)=3^n-2n-1$
    Alors $u(n+1)=3\times3^n-2(n+1)-1$
    $u(n+1)=2\times 3^n -4n +4n + 3^n -2n-2-1$
    $u(n+1)=2(3^n -2n -1) +4n + 3^n -2n-1$
    $u(n+1)=3u(n)+4n$.
    Donc si $u(n)$ est multiple de $4$ alors $u(n+1)$ l’est aussi.
    Et comme $u(0)=0$ est multiple de $4$ on en déduit que $u(n)$ l’est pour tout entier $n$.

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