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Un défi par semaine

Avril 2016, 5e défi

Le 29 avril 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour quels nombres entiers positifs $n$ le nombre $3^n-2n-1$ est-il divisible par $4$ ?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $2^{987}$.

Soient $x_1, x_2, \dots, x_{16}, \dots$ les nombres de la suite. On sait que $x_1=x_2=2$, et donc $x_3= 2\times 2= 2^2$, $x_4 = 2\times 2^2 = 2^3$, $x_5 = 2^2\times 2^3 = 2^5$, $x_6 = 2^3\times 2^5 = 2^8$. On observe que les exposants de la suite correspondent aux nombres de Fibonacci, c’est-à-dire que chaque exposant est la somme des deux exposants précédents. On a alors $x_7= 2^{13}$, $x_8= 2^{21}$, $x_9= 2^{34}$, $x_{10}= 2^{55}$, $x_{11}= 2^{89}$, $x_{12}= 2^{144}, x_{13}= 2^{233}, x_{14}=2^{377}, x_{15}=2^{610}$ et enfin $x_{16}=2^{987}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Avril 2016, 5e défi

le 29 avril 2016 à 06:20, par Elrigo

En développant 3^n = (4-1)^n avec la formule du binôme de Newton, on détermine la réponse.
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Avril 2016, 5e défi

le 29 avril 2016 à 08:41, par Al_louarn

Très élégant j’aime bien :-)

On peut aussi procéder par récurrence :
Posons $u(n)=3^n-2n-1$
Alors $u(n+1)=3\times3^n-2(n+1)-1$
$u(n+1)=2\times 3^n -4n +4n + 3^n -2n-2-1$
$u(n+1)=2(3^n -2n -1) +4n + 3^n -2n-1$
$u(n+1)=3u(n)+4n$.
Donc si $u(n)$ est multiple de $4$ alors $u(n+1)$ l’est aussi.
Et comme $u(0)=0$ est multiple de $4$ on en déduit que $u(n)$ l’est pour tout entier $n$.
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Avril 2016, 5e défi

le 29 avril 2016 à 09:38, par Daniate

Aussi astucieux que matinal !

La factorisation de 3^n-1, par exemple en utilisant la formule de la somme d’ une suite géométrique, permet également de conclure.
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Avril 2016, 5e défi

le 1er mai 2016 à 17:52, par Celem Mene

Pour tous les n entiers positifs, le nombre 3^n - 2n - 1 est divisible par 4.

En effet, 3^n mod 4 égale 1 pour les n pairs et 3 pour les n impairs.

Lorsque, pour le n pairs, on multiplie n par 2 (2n), on ajoute un multiple de 4 sans effets sur le résultat. Ne reste plus qu’à soustraire 1 du reste identique.

Soit pour n pair (2p) :
3^2p mod 4 = 1
(1 - 2(2p) - 1) mod 4 = 0

Pour les n impairs, la soustraction de 1 laisse un résultat de 2, auquel on va soustraire un nombre pair (2n = 2p). Or, tout nombre impair multiplié par deux, laisse un modulo 4 de 2. Que l’on va soustraire de 2.

Soit pour n impair (2p - 1) :
3^(2p-1) mod 4 = 3
(3 - 2(2p-1) - 1) mod 4 = 0

Je ne suis pas mathématicien, pardonnez donc s.v.p. les inexactitudes presque certaines.

Meilleures salutations.
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