Un défi par semaine

Avril 2016, 5e défi

Le 29 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour quels nombres entiers positifs $n$ le nombre $3^n-2n-1$ est-il divisible par $4$ ?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $2^{987}$.

Soient $x_1, x_2, \dots, x_{16}, \dots$ les nombres de la suite. On sait que $x_1=x_2=2$, et donc $x_3= 2\times 2= 2^2$, $x_4 = 2\times 2^2 = 2^3$, $x_5 = 2^2\times 2^3 = 2^5$, $x_6 = 2^3\times 2^5 = 2^8$. On observe que les exposants de la suite correspondent aux nombres de Fibonacci, c’est-à-dire que chaque exposant est la somme des deux exposants précédents. On a alors $x_7= 2^{13}$, $x_8= 2^{21}$, $x_9= 2^{34}$, $x_{10}= 2^{55}$, $x_{11}= 2^{89}$, $x_{12}= 2^{144}, x_{13}= 2^{233}, x_{14}=2^{377}, x_{15}=2^{610}$ et enfin $x_{16}=2^{987}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2016, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2016, 5e défi

    le 29 avril 2016 à 06:20, par Elrigo

    En développant 3^n = (4-1)^n avec la formule du binôme de Newton, on détermine la réponse.

    Répondre à ce message

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