Un défi par semaine

Avril 2017, 2e défi

Le 14 avril 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

Combien de couples d’entiers $(x,y)$ satisfont l’équation suivante ?

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}.$

Solution du 1er défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $28$ points.

Le nombre de points qu’elle a obtenus de la sixième à la neuvième partie est $23+14+11+20 = 68$. Notons $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{10}$ les points qu’elle a obtenus aux $10$ parties. La moyenne par match est $\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{10}}{10} =18$, c’est-à-dire $x_1+x_2+\cdots+x_{10} =180$. On a donc $x_1+x_2+\cdots +x_5 +68 + x_{10} =180$. On obtient donc :

$x_{10} = 180 - 68- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}) =112- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}).$

D’autre part, on sait que :

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{9}}{9} > \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{9} + \frac{68}{9} > \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{9} - \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{5}}{5} > -\frac{68}{9}$

$- 4 x_1 - 4 x_2 - \cdots - 4x_{5} > -\frac{68}{9}\times 9 \times 5= -340$

$-x_1 - x_2 - \cdots - x_{5} > \frac{-340}{4}=-85.$

Donc, en remplaçant dans la première équation, on obtient :

$x_{10} = 112- (x_1+x_2+\cdots+x_{5}) > 112- 85 = 27.$

Par conséquent, Camille a obtenu au moins $28$ points à la dixième partie.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Avril 2017, 2e défi

    le 14 avril à 14:14, par Niak

    Considérons le cas général $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. On a nécessairement $x,y > n$ donc, en posant $X = x-n > 0$ et $Y = y-n > 0$, on a $\frac{1}{X+n} + \frac{1}{Y+n} = \frac{1}{n}$, soit $n(2n+X+Y) = (X+n)(Y+n)$ ce qui se simplifie en $n^2 = XY$.
    Les solutions correspondent donc exactement aux possibles factorisations de $n^2$ en deux facteurs. Pour $n=5$ on a donc les $3$ couples $(6,30)$ (pour $(X,Y)=(1,25)$), $(30,6)$ et $(10,10)$ (pour $(X,Y)=(5,5)$).
    On pourra aussi prolonger ce défi sur Project Euler (108 et 110).

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    • Avril 2017, 2e défi

      le 14 avril à 14:46, par Niak

      Arg, j’ai supposé $x,y>0$ ce que l’énoncé n’indique pas, mais le raisonnement reste valide sous l’hypothèse $x,y\neq 0$, i.e. $X,Y\neq -n$. Cela porte le nombre de couples à $5$ en ajoutant $(4,-20)$ (pour $(X,Y) = (-1,-25)$) et $(-20,4)$.

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  • Avril 2017, 2e défi

    le 16 avril à 18:14, par ROUX

    Je transforme 1/x+1/y=1/5 en y=5x/(x-5).
    y, entier, est donc un multiple de 5 et s’écrit 5k.
    Alors, k=x/(x-5) ou 5k=x(k-1).
    Si k est pair, 5k est pair, (k-1) est impair et x doit être pair.
    Si k est impair, 5k est impair, k est pair et c’est impossible pour x.
    5x/(x-5) est toujours décroissante : pour x plus grand que 6, y est inférieur à 30 ce qui majore les valeurs paires de k à 6 ; pour x plus petit que 4, y est supérieur à -20 ce qui minore les valeurs paires de k à -4.
    Je teste donc, pour les valeurs de k, -4, -2, 0, 2, 4 et 6.
    Les couples (x,y) sont alors : (4,-20) ; impossible pour k=-2 et pour k=0 ; (10,10) ; (5,20) et (6 ;30).

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    • Avril 2017, 2e défi

      le 18 avril à 19:07, par Niak

      $\frac{1}{5}+\frac{1}{20} = \frac{1}{4}$

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