Commentaire sur l'article

• Avril 2017, 2e défi

  le 14 avril 2017 à 14:14, par Niak

  Considérons le cas général $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. On a nécessairement $x,y > n$ donc, en posant $X = x-n > 0$ et $Y = y-n > 0$, on a $\frac{1}{X+n} + \frac{1}{Y+n} = \frac{1}{n}$, soit $n(2n+X+Y) = (X+n)(Y+n)$ ce qui se simplifie en $n^2 = XY$.
  Les solutions correspondent donc exactement aux possibles factorisations de $n^2$ en deux facteurs. Pour $n=5$ on a donc les $3$ couples $(6,30)$ (pour $(X,Y)=(1,25)$), $(30,6)$ et $(10,10)$ (pour $(X,Y)=(5,5)$).
  On pourra aussi prolonger ce défi sur Project Euler (108 et 110).

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• Avril 2017, 2e défi

  le 14 avril 2017 à 14:46, par Niak

  Arg, j’ai supposé $x,y>0$ ce que l’énoncé n’indique pas, mais le raisonnement reste valide sous l’hypothèse $x,y\neq 0$, i.e. $X,Y\neq -n$. Cela porte le nombre de couples à $5$ en ajoutant $(4,-20)$ (pour $(X,Y) = (-1,-25)$) et $(-20,4)$.

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• Avril 2017, 2e défi

  le 16 avril 2017 à 18:14, par ROUX

  Je transforme 1/x+1/y=1/5 en y=5x/(x-5).
  y, entier, est donc un multiple de 5 et s’écrit 5k.
  Alors, k=x/(x-5) ou 5k=x(k-1).
  Si k est pair, 5k est pair, (k-1) est impair et x doit être pair.
  Si k est impair, 5k est impair, k est pair et c’est impossible pour x.
  5x/(x-5) est toujours décroissante : pour x plus grand que 6, y est inférieur à 30 ce qui majore les valeurs paires de k à 6 ; pour x plus petit que 4, y est supérieur à -20 ce qui minore les valeurs paires de k à -4.
  Je teste donc, pour les valeurs de k, -4, -2, 0, 2, 4 et 6.
  Les couples (x,y) sont alors : (4,-20) ; impossible pour k=-2 et pour k=0 ; (10,10) ; (5,20) et (6 ;30).

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• Avril 2017, 2e défi

  le 18 avril 2017 à 19:07, par Niak

  $\frac{1}{5}+\frac{1}{20} = \frac{1}{4}$

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