Un défi par semaine

Avril 2017, 3e défi

Le 21 avril 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

On replie une feuille de papier $ABCD$ sur elle-même de sorte que le point $A$ se retrouve au milieu du segment $[BC]$. Quelle est la longueur de $[AX]$ en fonction de celle de $[DY]$ ?

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Solution du 2e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $5$ couples.

Observons tout d’abord que $x$ et $y$ ne peuvent valoir $0$ ou $5$. L’équation donne :

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-5}{5x}$

$y= \dfrac{5x}{x-5} = \dfrac{5x-25+25}{x-5}=5 + \dfrac{25}{x-5}.$

Comme $y$ est un nombre entier, $\frac{25}{x-5}$ doit être un nombre entier. Donc $x-5$ divise $25$, c’est-à-dire que les valeurs possibles de $x-5$ sont $\pm 1$, $\pm 5$ et $\pm 25$. Comme $x\neq 0$, on a $x-5\neq-5$. Les autres valeurs de $x-5$ nous disent que $x$ peut valoir $6$, $4$, $10$, $30$ ou $-20$.

Chacune de ces valeurs de $x$ nous donne une valeur de $y$ satisfaisant à l’équation. Les couples de solutions $(x,y)$ sont donc : $(6,30)$, $(4,-20)$, $(10,10)$, $(30,6)$ et $(-20,4)$. Il y a donc $5$ couples satisfaisant à l’équation.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2017, 3e défi

    le 21 avril à 10:03, par Daniate

    Réponse

    AX = 5DY

    Démonstration

    E,F et I sont les milieux de [BC],[AD] et [AF] H,G et J sont les intersections de (XY) avec (AE), (EF) et (AD).

    On commence par démontrer que AXEG est un losange puis que G est le milieu [XY] . On en déduit XY = 4XH

    Les triangles AHX et JHA sont semblables à ABE donc HJ = 2HA = 4XH

    Il vient XJ = 5XH = 5JY . Il reste à projeter orthogonalement [XJ] sur [XA] pour obtenire la réponse.

    Répondre à ce message

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