Un défi par semaine

Avril 2017, 4e défi

Le 28 avril 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Si on somme $36$ et $37$, on obtient $73$. Quand on écrit les chiffres de la somme dans l’ordre inverse, on obtient $37$. Combien existe-t-il de nombres entiers positifs à $2$ chiffres ayant la propriété que, si on lui ajoute $36$ et qu’on inverse l’ordre des chiffres de la somme, on obtient le nombre initial ?

Solution du 3e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $AX= 5 DY$.

Soient $M$ le milieu de $[BC]$ et $N$ le point d’intersection de $AM$ avec la droite $(XY)$. Alors, $N$ est le milieu de $[AM]$ et comme $AXM$ est isocèle, $(AN)$ est perpendiculaire à $(XY)$. On peut, sans perte de généralité, supposer que la longueur des côtés du carré est de $10\,\mathrm{cm}$. Comme $BM= \frac{10}{2}=5 \, \mathrm{cm}$, par le théorème de Pythagore, on a $AM= \sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\,\mathrm{cm}$ et $AN= \frac{1}{2} AM= \frac{5\sqrt{5}}{2}\,\mathrm{cm}$.

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Les triangles rectangles $ABM$ et $ANX$ sont semblables puisque la valeur de l’angle en $A$ est la même pour les deux triangles. Donc

$\frac{AX}{AN} = \frac{AM}{AB}$

$AX = \frac{AN \times AM}{AB}$

$AX = \frac{25}{4}\,\mathrm{cm}.$

Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $Y$ et notons $I$ son point d’intersection avec la droite $(AB)$. Les triangles $ABM$ et $YIX$ sont superposables puisque leurs côtés sont perpendiculaires par paires et $AB=IY$. Donc, $IX=BM=5\,\mathrm{cm}$. Par conséquent, $DY=AX-IX=\frac{25}{4}-5=\frac{5}{4}\,\mathrm{cm}$, et donc, $AX= 5 DY$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Avril 2017, 4e défi

    le 28 avril à 09:15, par Bernard Hanquez

    La réponse est 5.

    Pourquoi ?

    Écrivons les nombres à trouver sous la forme 10*a + b

    La condition à respecter peut s’écrire 10*a + b + 36 = 10*b + a
    D’où 9*a + 36 = 9*b
    En simplifiant par 9 on obtient a + 4 = b

    a et b sont des chiffres, donc b <= 9, et a <= 5

    Les cinq nombres répondant à la question sont donc : 15, 26, 37, 48, 59

    Répondre à ce message
  • Avril 2017, 4e défi

    le 28 avril à 09:39, par ROUX

    Le problème se pose en écrivant : 36 + 10a + b = 10b + a.
    Cela donne 36 = 9b - 9a ou b - a = 4 ou b = a + 4.
    La plus petite valeur de a est 1 donc la plus petite valeur de b est 5.
    La valeur maximale de b est 9.
    Il y a 5 valeurs entières comprises entre 5 et 9 comprises.
    Donc 5 nombres qui sont 15, 26, 37, 48 et 59.
    Sans la contrainte d’un nombre à deux chiffres, 36 + 04= 40 fonctionnait.
    Rigolo, ce défi :-) !!!

    Répondre à ce message

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