Un défi par semaine
Avril 2017, 4e défi
Le 28 avril 2017 Voir les commentaires (2)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 17 :
Si on somme $36$ et $37$, on obtient $73$. Quand on écrit les chiffres de la somme dans l’ordre inverse, on obtient $37$. Combien existe-t-il de nombres entiers positifs à $2$ chiffres ayant la propriété que, si on lui ajoute $36$ et qu’on inverse l’ordre des chiffres de la somme, on obtient le nombre initial ?
Solution du 3e défi d’Avril :
La réponse est $AX= 5 DY$.
Soient $M$ le milieu de $[BC]$ et $N$ le point d’intersection de $AM$ avec la droite $(XY)$. Alors, $N$ est le milieu de $[AM]$ et comme $AXM$ est isocèle, $(AN)$ est perpendiculaire à $(XY)$. On peut, sans perte de généralité, supposer que la longueur des côtés du carré est de $10\,\mathrm{cm}$. Comme $BM= \frac{10}{2}=5 \, \mathrm{cm}$, par le théorème de Pythagore, on a $AM= \sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\,\mathrm{cm}$ et $AN= \frac{1}{2} AM= \frac{5\sqrt{5}}{2}\,\mathrm{cm}$.
Les triangles rectangles $ABM$ et $ANX$ sont semblables puisque la valeur de l’angle en $A$ est la même pour les deux triangles. Donc
$\frac{AX}{AN} = \frac{AM}{AB}$
$AX = \frac{AN \times AM}{AB}$
$AX = \frac{25}{4}\,\mathrm{cm}.$
Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $Y$ et notons $I$ son point d’intersection avec la droite $(AB)$. Les triangles $ABM$ et $YIX$ sont superposables puisque leurs côtés sont perpendiculaires par paires et $AB=IY$. Donc, $IX=BM=5\,\mathrm{cm}$. Par conséquent, $DY=AX-IX=\frac{25}{4}-5=\frac{5}{4}\,\mathrm{cm}$, et donc, $AX= 5 DY$.
Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Avril 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017
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