Un défi par semaine

Avril 2018, 2e défi

Le 13 avril 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 15

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Combien de carrés peut-on former en utilisant les points de la croix comme sommets ?

Solution du 1e défi de Avril :

Enoncé

La réponse est $21$.

Observons que $\lfloor \sqrt{x}\rfloor=10$ équivaut à $10\leq \sqrt{x}<11$, et par conséquent à $100\leq x<121$.

Donc, $21$ entiers satisfont la condition.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Avril 2018, 2e défi

    le 13 avril à 07:42, par Al_louarn

    En convenant que la distance minimale entre deux points de la croix est $1$, je trouve $9$ carrés de côté $1$, $2$ carrés de côté $\sqrt{5}$, et $2$ carrés de côté $\sqrt{13}$, ce qui fait $13$ carrés en tout.

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  • Avril 2018, 2e défi

    le 13 avril à 08:47, par Kamakor

    Il y en a également quatre carrés de côté $\sqrt(2)$ et quatre de côté $2\sqrt(2)$

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  • Avril 2018, 2e défi

    le 13 avril à 19:04, par drai.david

    Si l’on note $C(n)$ le nombre de carrés dans une croix de côté $n$ (ici, la croix est de côté 2), on a :

    $C(n)=\frac{6n^4-3n^2+(n\mod 2)}{4}$.

    Répondre à ce message
    • Avril 2018, 2e défi

      le 19 avril à 15:48, par Niak

      Joli ! Mais comme cela ne saute pas immédiatement aux yeux (je n’ai pas regardé longuement, mais ça me semblait a priori assez pénible à compter), pourriez-vous détailler votre approche pour arriver à ce résultat ?

      (bon j’imagine qu’on on peut assez facilement se convaincre qu’on a deux polynômes en $n^4$ suivant $n$ pair/impair, calculer de petites valeurs par ordinateur et obtenir la formule par interpolation, mais... bof...)

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      • Avril 2018, 2e défi

        le 19 avril à 16:50, par drai.david

        Malheureusement, je ne suis pas très subtil et j’ai fait comme tu dis...
        Mais la formule donnée plus bas est tout de même plus jolie !
        Tout d’abord, un petit programme sur ma HP Prime fétiche pour trouver de manière brute les 1ères valeurs (j’avais déjà fait programmer ce problème paru dans le calendrier 2014 à mes élèves de 1èreS, sur Casio Graph+ et TI 83...) : 8 secondes pour les 15 premières valeurs sur émulateur.
        Mais pour une preuve par récurrence, j’avoue ne pas y avoir songé...
        Voici le programme pour populariser cette calculette idéale pour la « petite » programmation.
        Et pourvu qu’on ait le bon algo (c’est ça le plus dur !), on peut même valider la plupart des projets Euler dans des temps raisonnables...

        Ici, l’indentation a disparu mais elle est présente dans le programme d’origine...

        EXPORT CARRES_EN_CROIX()
        BEGIN
        {}▶L1 ;
        FOR N FROM 1 TO 15 DO
        3*N-1▶M ;2*N-1▶Q ;0▶T ;2*N▶O ;
        FOR X FROM 0 TO M DO
        FOR Y FROM 0 TO M DO
        IF (X≥N AND X<O) OR (Y≥N AND Y<O) THEN MIN(Q,M-X,Y)▶R ;
        FOR A FROM 1 TO R DO MIN(Q,M-Y,M-X-A)▶S ;
        FOR B FROM 0 TO S DO X+A▶V ;Y+B▶W ;
        IF (V≥N AND V<O) OR (W≥N AND W<O) THEN V+B▶V ;W-A▶W ;
        IF (V≥N AND V<O) OR (W≥N AND W<O) THEN V-A▶V ;W-B▶W ;
        IF (V≥N AND V<O) OR (W≥N AND W<O) THEN T+1▶T ;
        END ;END ;END ;END ;END ;END ;END ;END ;
        CONCAT(L1,T)▶L1 ;
        END ;
        PRINT(L1) ;
        END ;

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  • Avril 2018, 2e défi

    le 13 avril à 19:12, par drai.david

    Donc $C(123456789)=348$ $458$ $584$ $197$ $388$ $854$ $793$ $956$ $634$ $734$ $271$.
    $;-)$

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  • Avril 2018, 2e défi

    le 13 avril à 23:54, par drai.david

    En fait, je la préfère comme ça : $C(n)=\frac{3}{4}x^2(2x^2-1)+\frac{1}{8}[1-(-1)^n]$ !

    Répondre à ce message

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